越窮越見鬼

計數題：一場馬有A、B、C三匹馬上陣，經過計算馬A和馬B各有50%機會取勝，馬C完全沒有機會勝出。馬A、馬B和馬C的賠率分別是2倍、2倍和5倍，應該如何下注？

驟眼一望，expected value最高的一匹馬，是0.5*2-1=0，完全找不到值得下注的機會。唔信邪？用平時最常用、最可靠的工具Kelly calculator來計一次，結果也是0%、0%、0%。顯示這是一個沒有edge的賭局。

但對於beyond兄這種賭場常客兼大戶來說，應該一眼就能看出這個賭局是個絕佳的盈利機會。不錯，只要押注10000元馬A，再押注10000元馬B，就很大機會獲得1000元的純利，5%的回報率而極低風險。這1000元的利潤來自哪裡？馬會的回扣。

日前一眾馬迷高手在池某blog裡留言討論怎樣利用回扣制度贏錢，池某覺得回扣問題也正好與前文談及的最優化資本分配公式相符，可以作為後續討論再寫一寫。

一般馬迷平時用以計算注碼的Kelly公式，亦即Kelly calculator所用的公式是：
f = (r/e-1)/(r-1)
在這裡r是real odds，e是expected odds，即win probability的倒數。

這條公式其實是最優化資本分配公式的簡化版，當涉及到回扣問題就不適用了，要回到原版找答案。

原版的最優化資本分配公式是：
f = p/a – q/b
其中，f是投入資本的最佳比例，p是盈利的機會率，即p=1/e；q是虧損的機會率，即q=1-p；a是虧損幅度；b是淨盈利率，即b=r-1。

若沒有回扣，就是a=1，這時
f=p–q/b
 =(p*b-1+p)/b
 =((r-1)/e-1+1/e))/(r-1)
 = (r/e-1)/(r-1)
就是Kelly calculator所用的公式。

若有回扣，就是a=0.9，如前文如說，一個賭局的注碼分配，很受a的變化影響。這時
f=p/0.9–q/b
 =(p*b-0.9*(1-p))/(0.9*b)
 =(p*(b+0.9)-0.9)/(0.9*b)
 =((r-0.1)/e-0.9)/(0.9*(r-1))
應投入的注碼明顯跟Kelly calculator的結果不一樣了。

以大家今天討論的“永常喜”那場為例，以池某當日得出的expected odds作基準，為了充分利用回扣，假設以100萬本金和1個Kelly來計算。

沒有回扣的注碼分配是這樣的：

有回扣的注碼分配是這樣的：

即使同樣都已把回扣計算在內，兩者的差距還是很明顯，同樣是“永常喜”勝出，有回扣版盈利要多8萬元；若是跑第二的“超越時空”勝出，有回扣版只是多輸6萬元；若是跑第三的“飛躍成功”勝出，冇回扣版要輸錢，有回扣版卻能贏錢。

故此賭馬是一個越有錢越著數，越窮越見鬼的遊戲。但賭馬也好，其他投資也好，真正的窮並非金錢上的窮，而是人窮而志窮，對固有的方法、工具和對別人的依賴形成習慣，變成心窮、智窮，以致真正的機會來到前面，也會“鬼掩眼”，反應不過來、把握不住。