跑贏大市的秘技

跑贏大市，已經成了很多投資者的心魔。時近歲末，投資人紛紛檢討“戰績”，有為跑贏大市而沾沾自喜者，有為失之交臂而深深不忿者，有為差之毫釐而握腕輕嘆者，也有一敗塗地卻找個藉口視而不見者．．．

上世紀八十至九十年代，南韓人長期雄霸一個體育項目──射箭。那個年代複合弓Compound Bow還未流行，國際比賽項目只有反曲弓Recurve Bow，南韓人憑著流暢連貫的射姿和完美細膩的技術，在賽場上令他國對手難望其項背。

當時的賽制一般是打一個FITA或者Double FITA。一個FITA就是賽4個不同的距離，每個距離賽36枝箭，一共射144枝箭。結果往往賽程過半就大局已定，剩下的比賽只餘表演與陪跑之分，南韓人通常遙遙領先囊括前三名甚至前四名，其他對手連摸一摸獎牌的機會都沒有。

南韓箭手的表現，就如池某前文所寫的橫亙在投資者面前那個長線無敵的大市，令一眾參與者難以逾越。於是，其他參與者都陷入了苦思冥想，怎樣才能“跑贏大市”呢？

終於，結論出來了，國際箭聯宣布改變賽制，不以144箭的FITA決勝負了，改為淘汰賽，單對單以18箭決戰，進入半準決賽後更變成12箭對決。改制之後，其他國家的箭手總算有機會憑運氣分享到獎牌了，偶然運氣好時甚至連金牌也能拿到。

就在這些箭手宣稱已能“跑贏大市”或接近“跑贏大市”時，他們發現韓國人還是贏多輸少，而且幾乎所有世界紀錄，不論男子還是女子，都是由南韓人保持並不斷刷新。怎麼辦？那就再改制，改為每3箭一組計分．．．

由144箭改為18或12箭，再改為3箭一組計分，公平嗎？在賽制上好像沒什麼不公平，但其中其實暗藏玄機。

如果以統計曲線去代表每個箭手的表現，射144枝箭時，大家的variance都很小，就是以mean決勝負，高下立見，高手和低手兩條曲線沒有交集。當決勝的箭數不斷減少，相當於將大家的variance擴大，曲線就變得更扁平，這樣，即使大家的mean不變，低手曲線的右邊也會出現覆蓋高手左邊曲線的可能（見下圖）。箭數越少，variance越大，曲線越扁平，覆蓋對手的面積也越大，表示低手可搏懵取勝的機會越大。

這個就是“跑贏大市”的“秘技”。

然而，增加variance是一把雙刃劍，雖然可以增加搏懵成功的機會，但同時也增加了徹底大敗的機會。須知道，長線投資的回報率，相當於每年回報率的geometric mean，當中只要出現一次大敗，就難以扳回。故贏了次數而輸了幅度的結果非常可能是得不償失。

如今，有的投資者揀十只八只股票組成一個組合，美其言為考驗自己的眼光，跑贏了大市，就自吹自擂，誇誇其談；跑輸了，就抺去不計，再減少持股，相信來年一定成功。擴大variance，期望以randomness之助來增加成功次數，這跟以為自己真的有能力打敗南韓人的箭手，不是一樣自欺欺人嗎？

打敗盈富基金的思考

魔術師師兄和流星兄先後演示了盈富基金的強勁表現，撩起了池某的心癮。雖然池某也曾寫過，指數基金是長線無敵的投資，但池某始終認為，盈富基金並非undefeatable。

如果只比較固定的資本在一段固定投資時間的表現，相信不少個股都能輕易跑贏2800，但那沒有多大的現實意義。現實操作中，投資人還會隨時遇到突然增資或抽資的情況，若中途的投資決定沒處理好，升幅再大的股票也未必能獲得太好的回報。只有在資金隨時增減等等各種情況下都能全方位打贏，才能算是真正的勝利。

整個思路還是由賭馬開始。如果要在一個特定的彩池，例如獨贏彩池取得長線滾動的最優回報，需要做的是先計算每場馬的最優下注比例，每跑完一場馬，不論輸贏，都以新的結餘配合最優下注比例來計算分配於下一場馬的注碼。這樣做的好處是可以有效解決資本中途增減的問題，令最新的結餘始終處於最優的投資部位。

這個方法也顯露了一個鮮明的特點：要取得最佳的整體投注回報，相當於要將各場投注回報的geometric mean最大化。將之移殖至2800，就可以看到打敗2800的空間所在了。

假設一只股票每年有一半機會升20%有一半機會跌10%，那麼投資這只股票每兩年的回報就是(1+20%)(1-10%)-1=8%；考慮另一種情況，投資這只股票時不要all in，透過調節保留部份現金（並非固定比例），而令升市贏少一點，跌市時輸少一點，例如升市那年只贏15%，跌市那年只輸5%，那麼每兩年的回報就是(1+15%)(1-5%)-1=9.25%，滾多幾年，兩者的差距就會越拉越大。

由此可以得出一個結論，只要一只股票是會波動的，就存在這樣一個以毒攻毒、以子之矛攻子之盾，利用同一只股票的波動去打敗它自己的空間。當然如果那只股票只會上升永不回頭，這個方法就沒輒了，但現實中有這樣的股票嗎？

再以一個例子看看其效果，假設投資一只股價20元的股票，這只股票經歷了這樣的走勢：20元→25元→30元→25元→20元→25元，100%資金持股的回報率就是25%；如果一早設定20元時80%資金持股，25元時60%，30元時40%，一到價就交易一次，若忽略交易成本，整體的回報走勢是：0%→20%→34.4%→25.44%→10.39%→32.46%，就變成了Shannon's Daemon的現實版（見“有波幅冇升幅，照樣贏到甩轆”一文），跑贏100%資金持股7個百分點，而且是波動轉折越多，回報率差距就越大。

這個方法看上去很美妙，好像股價的每一下跳動都在產生“利潤”，猶如潮汐發電，用之不竭；更有點像傳說中的“永動機”（真要問一下物理系的魔術師師兄，可能嗎？）。理論上，如果每一秒都在不停交易，利潤就會源源不絕。但實際上不可行。第一，在香港的股票要一手一手地交易，而不能一股一股地買賣；第二，交易有成本，如此密集而零碎的交易，相對於成本只會是得不償失。故此只能考慮其擴大波幅範圍後的可行性。

若將這個投資方法複製至盈富基金，仍有一個關鍵難題未能解決，就是如何確定在不同價位的最優化持股比例？就算知道2800長線會上升而短期變化是random，也無從預計其變化的幅度，故要計算出準確的最優化持股比例是不可能的任務。至於能否退而求其次“試”出一個頗優的比例分佈呢？池某不敢把話說死。

買股票不如賭馬安全，why？

上文提到，上世紀90年代末科網泡沫爆破前夕，馬場大亨Alan Woods大舉沽空NASDAQ指數功敗垂成後，大嘆“賭馬比買股票安全多了”。撇開其輸錢後一時氣話的成份，細想一下炒股破產時有所聞，但賭馬破產就不常見，可見“賭馬比買股票安全”之論，並非完全沒有道理。

賽馬的機會與風險估算，不是一件簡單的事，即使是最容易理解的獨贏彩池，要找出每場的最優投注組合，都是一個艱巨的工程。同一匹馬，放在不同的場次，取勝的機會率是不一樣的，既與自身的條件有關，也跟對手的強弱有關。

比如蔡約翰馬房兩季八捷的一哩佳駟“詠彩繽紛”，季初跑級別較低的本地級際賽，被捧成2倍的一面倒大熱門，到後來跑強手林立的國際級際賽，賠率明顯回落，可見普羅馬迷對這種機會與風險的認知，是頗為一致的。專業一點的說法，就是每場馬都要計算投注組合的variance，也要計算組合內馬匹的covariance，才能決定投注在每匹馬身上的注碼。

從這個道理看股票買賣，不難發現很多傳統概念都是無法取得最佳回報的，甚至是錯誤的。比如長線持股或月供股票，相當於長期平注追捧一匹馬。當然會有人反駁說，長期追捧“詠彩繽紛”至今仍有89%的純利，但不要忘記，“詠彩繽紛”最初的純利是660%，現在是一直回落中。至於要持股至“永遠”之說，更是錯得離譜，就算你長期追捧那匹馬叫“精英大師”，也難逃輸錢的命運。

同樣道理，當有投資人聲稱股價100元的渣打值得入貨時，其他投資者要做的，不應是“信”和“跟”，而應該跟自己的投資組合比較一下，來決定是否值得買入或調整持貨的百分比。每個投資者的投資組合都不一樣，現金比例也不一樣，理論上得出的結果也不一樣。本來是滿倉爛蘋果的，也許是時候換幾個巴仙貨；本來是滿倉好蘋果的，完全沒有必要將自己變成一個爛蘋果投資者。

又有股票投資者說，應把自己當成公司的老闆去思考投資的公司。這種說法，無疑像馬迷幻想自己是馬主一樣幼稚。馬迷與馬主、小股東與公司老闆，獲利的途徑截然不同，不可能、也不應該以相同的角度去思考。比如一匹馬跑第五，馬主高高興興收獎金，馬迷就只能哭馬喪；一間公司就算連年虧損，股價縮水，公司老闆照樣能收取巨額酬金，甚至股價向下炒，老闆也能獲利，小股東就只能欲哭無淚。

雖然賭馬和買股票有很多相似之處，不過，無論從交易成本來看，還是從機會與回報的整體比例來看，說賭馬比買股票安全，都很難說得過去。但最危險的地方往往就是最安全的地方，意外常發的交通黑點一般都是寛闊筆直的大路，而不是彎多路窄之地。正因為賭馬是高風險的零和博奕，投注人才會更加謹小慎微地看緊本錢，在股票市場大戶可以億億聲咁輸，散戶也可以十萬八萬輕易就打了水漂，而在馬場一般只是一千幾百上落。

馬場是一個鍛鍊平衡風險、機會和回報思維的好地方。一場馬跑完，就要埋單計數，各個投注組合是龍是蛇，各種投資理論是寶是草，都立即現形，既嚴酷又殘忍。正正是這種殘酷的現實要求，迫使馬場投注人如履薄冰、步步為營，把風險、機會和回報的計算推向極致，故很少出現輸身家的情況。

反觀股票，因為可以“無限補時”賴下去，一日未沽貨，都可以不認輸，從而令很多寄生於“無限補時”的似是而非的理論，可以以鬥長命的方式苟延殘喘下去，結果是表面上看起來很舒服很安全，實際有如慢性中毒，又似溫水煮蛙，一朝醒覺時，為時晚矣。

說賭馬比買股票安全，因賭馬之生在於憂患，買股票之死在於安樂。春秋時鄭卿子產曰：“夫火烈，民望而畏之，故鮮死焉；水懦弱，民狎而翫之，則多死焉。”此之謂也。

投資的time與timing

股市跌、跌、跌，不管風險管控做得多好，只要手上有股的，帳面數字也好不到哪裡去。池某身邊就有朋友慨嘆，現在買股票不如賭馬。池某不是第一次聽到這樣的話，這也讓池某想起一個真實的故事。

話說Alan Woods、William Benter和Walter Simmons在香港的賭馬集團剛開始賺錢就拆夥（見“強勁無匹的賭馬方程式”一文），Alan Woods賺夠之後隱身在菲律賓馬尼拉的豪宅，過著每天有不同美女相伴的飽暖思淫慾生活，並搖控他在香港的團隊繼續賭馬。

在上世紀90年代末科網泡沫爆破前夕，Woods靈光一閃，認為泡沫終會爆破，於是大舉沽空NASDAQ指數。不過，他的準確判斷不但沒為他贏得暴利，反而輸到攤攤腰。因為他執行的timing差了少許，沒熬到真正爆破的一刻就撐不下去了，他因此損失了1億美元。Woods為此感慨地說，“看看從1987年開始我不斷地從賭馬中賺的錢，再看看我在股市的投資，賭馬比買股票安全多了。”

池某曾在RkwC君的blog中提及買股靠time買樓靠timing，細想一下time和timing在投資中的作用，特別是回味Woods這個例子，這樣一句話概括似乎過於簡單，未能充分反映其中要害之處。

大宗銀碼的一筆過交易，無疑是timing較重要。比較一下在1997年買樓和在2003年買樓，持有的time並沒有帶來優勢。而且，買樓一般要用到槓桿，timing對，槓桿倍大收益；timing錯，槓桿倍大痛苦。Timing實在太重要了。

至於細水長流的交易，例如月供股票，開始的timing就不太重要，反而是投資的年期更重要，只要股價每年能保持幾個巴仙增長，第20年的收益比第10的收益會好很多，第51年的收益比第50年的收益也會好很多。越往後，time的優勢就越明顯。

池某突發奇想，除了買股買樓，人的一生還要投資知識、事業、愛情、婚姻……，這些投資之中，是time重要，還是timing重要？

從一個歷史故事說起，這個故事記載於班固《漢書．朱買臣傳》：

朱買臣，字翁子，吳人也。家貧，好讀書，不治產業，常艾薪樵，賣以給食，擔束薪，行且誦書。其妻亦負戴相隨，數止買臣毋歌嘔道中。買臣愈益疾歌，妻羞之，求去。買臣笑曰：“我年五十當富貴，今已四十餘矣。女苦日久，待我富貴報女功。”妻恚怒曰：“如公等，終餓死溝中耳，何能富貴！”買臣不能留，即聽去。其後，買臣獨行歌道中，負薪墓間。故妻與夫家俱上冢，見買臣饑寒，呼飯飲之。

……

會稽聞太守且至，發民除道，縣長吏並送迎，車百餘乘。入吳界，見其故妻、妻夫治道。買臣駐車，呼令後車載其夫妻，到太守舍，置園中，給食之。居一月，妻自經死，買臣乞其夫錢，令葬。悉召見故人與飲食諸嘗有恩者，皆報復焉。

翻譯成現代的語言，故事的大概意思是：漢武帝年間有一位女士（另有版本稱這位女士姓崔），一直持股朱氏公司，這間公司的核心業務是斬柴賣柴，因生產力低下，業績甚差。但崔女士並不介意，她的投資哲學是Buy and Hold，買了就長線持股，直至永遠，即使業績差股息低，也是可以接受的回報。

持股20多年後她發現唔對路，朱氏公司用了越來越多的資源去發展完全看不到希望的非核心業務，以致核心業務的效益更差。形勢有變就要改變投資策略，崔女士決定斬纜換馬。這時，朱氏公司傳來內幕消息：公司很快就會大爆發，你已持股20幾年，何不再等等？

信你一成，雙目失明；信你兩成，跌落泥濘；信你三成，事業無成……崔女士對朱氏公司已經貼身研究了20幾年，很確定自己對朱氏太了解了，這次決定信自己，當即斬纜換馬。不久後，她看了一下朱氏的股價，果然比之前更低殘，證明自己的決定沒錯。

又不久後，朱氏公司突然大爆發，成為壟斷當地一切業務的大集團，之前與朱氏稍有關係的人，都發到呯呯聲。崔女士對自己堅持了20幾年的time而沒把握好最後的timing，羞愧悔恨兼而有之，一時諗唔開，自殺死了。

故事其實還沒完，如果崔女士能相信自己的決定再堅持幾年的time，看看朱氏公司的最終下場，就會發現自己選擇自我了斷的timing也是錯的。

這個戲劇性（還真被改編成不同版本的戲劇）的歷史故事，充分說明了一個人對time的堅持很困難，對timing的判斷也不容易，要完全了解、準確把握一個投資對象，更是難上加難。同吃同住同床20幾年，投資對象的真正價值和前景一樣是摸不清、想不到。就算具備堅持的耐心、斬纜的決斷，也逃不出悲劇的結局。

如今，有些投資人只是翻翻年報，看看會計報表，面對自己不曾涉足甚至完全陌生的行業和公司，竟然就敢輕言其投資價值，甚至豪言要永遠持有。在池某看來，他們要麼是有特異功能，要麼就是天方夜譚。

讀書＊思辨

讀黃仁宇的書總是有一種鬱悶的感覺，不像看通俗史書那樣簡單直接痛快淋漓，也不像看斷代史那樣絲絲入扣讓人折服，而是令人不停的思考、想像，想到最後卻只剩一種無法改變大局的無可奈何。

也許這就他所說的，歷史學不專恃記憶，它本身也是一種思維的方法。也許這就是他所說的大歷史和小歷史的區別，小歷史重分析、重演繹，大歷史重綜合、重歸納，而綜合歸納需要想像。

黃仁宇說大歷史macro history這名詞並非其發明，只是模仿宏觀經濟學（macroeconomics）和微觀經濟學（microeconomics）之分，這種跨領域的思維，讓池某覺得，將之套用於解釋投資領域的現象，亦未嘗不可。

在歷朝歷代，歷史科都是具有服務於政治的目的，美其名為“以史為鑑”。故面向大眾的歷史，多是選擇性的故事敍述，開國之君必然英明神武，亡國之君必然荒淫無道，總之故事要精彩，解釋要合理，於理不合的就斷章取義，不能以理服人的就解釋為“天意”或將之“神化”，把不可挑戰的“天”和“神”擺出來，再將“天意”、“神意”教條化，就能佔領言論高地，掌握話語權，以代行“天意”自居。

愚民政策從來不乏幫兇，尤其是知識水平高超的幫兇。幫兇掌握了解釋權，可以彰顯自己的權威，提升自己的地位。掌握了釋法權，就可以審判任何人，審判全世界，話你啱就啱，話你錯就錯。

千百年來，這種歷史觀行之有效，古今中外皆如是，最根本的原因是，人的痛苦總是源於思考，人的惰性使人樂於麻痺思想，盲從教條，做一個盲目的追隨者反而更有安全感和歸屬感。

一個有人願打有人願捱的架構就此形成。有人以“價值投資者”自居，以股神的片言隻語當作教條來宣揚，謀求成為代行“神意”或掌握“神意”解釋權的專家、大師；也有人以“價值投資者”自居，以拋棄思想嚴守教條為代價，夢想達到自由。

“價值投資”於是從一種投資方法進化成一種信仰，信徒們不必再考慮合不合理、可不可行，以為只需要“信”就能得到“神”的眷顧和同儕的艷羨。過去，45元買中人壽是“價值投資”，35元買中人壽更是“價值投資”，不買中人壽就不是“價值投資”；如今，120元買渣打是“價值投資”，100元買渣打也是“價值投資”，80元買渣打更是“價值投資”，不買渣打就不是“價值投資”，所以巴郡也不是“價值投資”。

這裡有個簡單的邏輯，如果自稱“價值投資者”是迷信“神”，理應手裡只得一只巴郡或聽“神”說只買指數基金，而不會今天買中人壽，明天買渣打，後天又買ｘｘｘ。顯然，這些“價值投資者”迷信的不是“神”，而是迷信解釋“神意”的“大師”，亦即塘人兄所稱的“解籤佬”。

如果“偽價值投資者”們能跳出圈套，從宏觀的視野審視，應不難看出其中的荒謬。問題是對於習慣了出賣思想換取教條的人，這樣做無疑將失去靈魂的指引，且是正式宣告不勞而獲的美夢落空，而要重陷思考的痛苦。誰會願意這樣做？

後記：

此文完成之時池某剛好看到一單新聞，內容有點搞笑卻又令人笑不出來：在愛滋病毒感染率甚高的非洲國家津巴布韋，近日流行“先知”在教堂為安全套祈禱，聲稱可藉此“強化功能”，實則此舉是斂財行為。

據報道，在“先知”Paul Sanyangore的教堂裡，近來婦女們一窩蜂要他為安全套祈禱，引起國際非洲愛滋與性病會議（International Conference on Aids and STIs in Africa，ICASA）的關注。

津巴布韋愛滋防禦中心指責“先知”此舉是誤導民眾，令民眾以為未經“加持”的安全套不具防範愛滋病功效，進而畏懼使用政府發放的安全套。但由於多年來政客屢屢失信於民，數以萬計的人民還是更願意追隨自稱的“先知”。這些“先知”因此大發利市，極其富有。

池某覺得這單新聞最令人唏噓的不只是“先知”的可惡，而是受騙民眾的甘之如飴。然而，池某在文章裡所說的“偽價值投資者”跟他們又有什麼區別？只是形式上稍有不同罷了。

長線無敵的投資

股票是否應該長期持有？“偽價值投資者”的答案是肯定的，因為他們篤信“股票的最佳持有期是永遠”。

上文提及“偽價值投資者”誤導大眾的一些謬論，沒想到引起blog友們的共鳴，既有“假值投資”之說，又有“解籤佬”之論，令池某為之噴飯。池某無意得罪任何人，實際上在池某行文時腦海裡並沒有一個要批駁的具體對像，只是對聽到的、看到的一些坊間流行論調，特別是假借價值投資之名行“解籤佬”之實的胡說八道，攤開來討論一番而已，如果有人要傻呼呼的對號入座，是無任歡迎的。

“偽價值投資者”通常都以能看穿股票內在價值自居，是Buy and Hold操作方式的支持者。就算是情況明顯變壞，也絕不會承認自己揀錯股、睇錯市，而會強調看長線，起碼三、四十年，甚至永遠不賣出。如果用塘人兄的“解籤佬”之論來解釋這個現象還是比較容易理解的，風水佬呃你十年八年，解籤佬拖你三、四十年，很正常。

“偽價值投資者”既然自稱有股神般的揀股能力，當然是看不起指數基金的。他們會這樣批評指數基金不合乎“價值”原則：一、指數基金的成份股包含了不少質素低劣的垃圾股在內；二、每次指數成份股換馬時，會被逼買入貴貨。

股票是否應該長期持有，最好還是讓數字說話。買入一只股票，最直接的理解就是投資這家企業的未來發展，如果說“股票的最佳持有期是永遠”，最現實的問題是，世界上有沒有可以“永遠”生存且能賺錢的企業？

公開的數字顯示，美國大約62％的企業壽命不超過5年，只有2%的企業能存活50年，中小企業平均壽命不到7年，大企業平均壽命不足40年；一般的跨國公司平均壽命為10至12年；世界500強企業平均壽命為40至42年，1000強企業平均壽命為30年。日本的調查也顯示，日本企業平均壽命為30年。中國官方的數字也表明，中國私營企業平均存繼周期為7.02年，中國集團公司的平均壽命約為7至8年。

上述數據表明，找遍全世界，都不可能找到值得“永遠”持股的企業，而且，持有的年期越長，失敗率更是顯著飆高。真實股票市場裡的情況又如何呢？美國道瓊斯工業指數，網羅了美國工業中最重要的股票，自1896年5月公佈以來，無數成份股進進出出，到目前為止，仍然留在指數中的只剩下碩果僅存的一只GE，長期持股的成功率有多高，可見一斑。

回到港人熟悉的恆生指數，自1969年11月正式向外發報，最初的30只成份股中，現在只剩下6只在列：中電、煤氣、九倉、匯控、電能（港燈）和太古。根據林本利博士的計算，自1973年至2010年，這6只股票中表現最好的是煤氣，明顯跑贏恆指，其次是港燈、中電和匯控，稍勝於恆指，九倉和太古的表現與恆指相若。換而言之，如果當年選擇長期持有恆指最初的30只成份股，40多年之後能明顯跑贏恆指的機會率只有1/30，能大致略勝於恆指的機會率是6/30，而且隨著時間往後推移，這個機會率只會下降而不會上升。

至此，“偽價值投資者”還敢說“股票的最佳持有期是永遠”嗎？別擔心，池某已經替你們想好辯辭了。Jeremy J. Siegel在其大作Stocks for the Long Run一書中，曾以歷史數據來計算1802年以來股票與債券的回報率，得出的結論是股票購買力的增長遠高於其他資產，長期穩定性也優於其他資產，比較了16個國家情形皆是如此，世界的平均回報率與美國的數據相差無幾，長線而言，股票是無敵的投資品，所以此書也被譯作《股票──長線法寶》。

不過，“偽價值投資者”們不必開心得太早，嚴格來說，Siegel所指的長線法寶其實不是個別股票，而是包含了整體普通股組合的股市。也就是說，真正長線無敵的，正正就是“偽價值投資者”瞧不上眼的指數基金。

令人心動的估值方法

投資股票，對股票估值當然是重要的，但計算得準不準並不是很重要，所以動輒搬出會計N寶或一大堆名字嚇人的models出來計餐懵，是不必要的。

一時說重要一時說不重要，不是自相矛盾嗎？沒有矛盾。首先，真正計算得準的工具是不存在的，以池某此前提到的“一統江湖邏輯”，如果真的存在一個精準的估值工具，這個工具早就一統江湖了，不會讓那麼多名字嚇人的models都來佔一席之地；其次，以池某上文提到的“水清則無魚邏輯”，如果一只股票的內在價值可以簡單地透過一個model就計算出來，是不可能從這只股票贏到錢的，難道其他投資者是傻的嗎？真正的盈利空間不在於算得準，而在於大家都算不準。

看看巴菲特是怎樣說的，他曾說，“投資沒那麼複雜。你只需要學習兩門課程就可以了，一門是如何評估企業價值，一門是如何看待股市波動。”也就是說，估值是跟市場波動相對應的，真正需要理解的，不只是單單一個計算出來的數值，而是要評估其安全邊際夠不夠寬，經不經得起波動。

Seth Klarman在其經典著作Margin of Safety說得更直接，“投資沒有什麼神秘的。簡而言之就是先確定某個證券的內在價值，然後以這個價值的適當折扣買進。事情就是那麼簡單。”在這裡的關鍵詞是“適當折扣”，就是護城河思想。

那麼一只股票應如何估價呢？巴菲特給出兩種方法：一是買方願意支付的最高價格或者是賣方願意給出的最低價格；二是未來現金流入與流出的折現值，即未來自由現金流的折現總和。

第一種方法是絕對主觀的，無法作任何計算，所以“偽價值投資者”們都對第二種方法趨之若鶩，紛紛“發明”各種計算自由現金流的折現的方法或model，然後就自稱是股神的信奉信兼實踐者了。實際上，第二個方法也是非常主觀的，其中的數據都是“靠估”，使得內在價值的計算根本無法達到一個精確的結果。

巴菲特曾在股東年會上說，他和芒格非常注重內在價值，但是也只能給有限可以理解的企業定價，而且即使是他們兩個對同一家企業進行定價，也會有明顯差別。他也特別說，“我一輩子分析過的公司，真正適合用現金流折現法進行估值的企業不超過10家。”芒格也這樣說巴菲特，“我們雖然認為這個是計算內在價值最合理的方式，但是從來沒有見過巴菲特計算過。”

用巴菲特的話來說，內在價值的計算只需是“模糊的正確”，他同時認為“模糊的正確要勝過精確的錯誤”。所以他在進行投資的時候總是要求更寬的護城河，以彌補萬一估錯值帶來的風險。

“模糊的正確要勝過精確的錯誤”是一句很具警醒意義的話，特別是對於試圖準確買到最高回報率股票的投資者，以及以為可以精確計算出波馬勝出率的賭徒。在“分散投資 OR 一注獨贏？”一文，已經說明了Markowitz建基於假設之上的精確計算，遠遠跑輸巴菲特的“模糊的正確”；在“渾水摸魚的大彩池攻略”一文，也說明了與其精確計算出波馬勝出率，不如渾水摸魚。

不過，看似高深的理論和漂亮的算式總是有一種誘人的魔力，各種名字嚇人的算式和models出現之後，反而令人們的思維本末倒置，以為精確計算勝於一切，而忘卻“模糊的正確”的重要原則，反以這些算式和models來作指引，以為可以客觀準確地計算出內在價值，然後等候所謂的價格回歸。

在現實中，算式和models眾多，可供選擇的股票更多，投資者總不會無端端漫無目的地去計，多數是心裡已經對買或賣有所傾向，才會去計或以models來驗證，當然也總能找到支持自己內心傾向的方法或models。結果，明明是主觀的決定，搞一大輪而做成是客觀決定的假象。

《六祖壇經‧行由品第一》記載：（惠能）至廣州法性寺，值印宗法師講涅槃經。時有風吃幡動，一僧曰：“風動。”一僧曰：“幡動。”議論不已。惠能進曰：“不是風動，不是幡動，仁者心動。”

由主觀決定客觀，再由客觀決定主觀，歸根究底還是主觀。故此，文章開首才說，動輒搬出會計N寶或一大堆名字嚇人的models出來計餐懵，是不必要的。估值並不是要精確計算出股票的內在值價，然後等待所謂的價格回歸，而是要為護城河找一個參照物，模糊正確即可。切記。

渾水摸魚的大彩池攻略

記得好多年前，馬會有位主管六合彩的高層在電視比tips，其具體原話池某已經忘記，大致意思則仍然記得：很多人都喜歡用自己或親友的生日數字來買六合彩，所以，如果六合彩開出的號碼集中在31以內，中獎注數通常較多，每名中獎者獲分的獎金金額便會相應減少；相反，如果開出的號碼偏於31以上，中獎者往往能一注獨享。

池某當時聽完馬上想到的是“同工不同酬”，同樣篤6個“冧把”，同樣的命中率，同樣是中了，回報卻是差天共地。而“同概率不同賠率”，正是Pari-Mutuel彩池的獨有特色。當然，六合彩這種極小概率遊戲，就算明白了其中道理，也是無法賴以達到長期盈利的。但將之引申到其他大彩池，就不一樣了，不但“同概率不同賠率”，就連“高概率高賠率”，也是很常見的。

在“強勁無匹的賭馬方程式”一文的留言中，有Blog友認為，“計算唔到機會率或提高命中，一切理論都只是徒然”。池某對此不能完全認同。在經過“抽水”的Pari-Mutuel彩池中，即使計算到精確無比的機會率或達到100%的命中率，也是難以盈利的。原因是“水清則無魚”，若機會率能大致確定，在現實操作中就很難獲得超賠率的派彩。

而且，池某認為，與其去想“提高命中”，不如鑽研“降低命中”更實際。因為99%機會率的賭注，是連1.01倍的賠率都不可能有的。但是，在“同概率不同賠率”的Pari-Mutuel彩池中，10%機會率的賭注而有11倍的賠率是可能的，1%機會率的賭注而有120倍的賠率是很可能的，0.1%機會率的賭注而有2000倍的賠率是非常可能的……水夠渾才能摸到超出預期的大魚。

廢話說完來點實際的。先看看古老的大彩池六環彩（比三T還要古老得多），很多人買六環彩都喜歡加個保險，每場多挑1匹馬，變成每關2匹共64注，還可以買2元1注而剛好湊成一張“飛”。所以如果每場都是由大熱或次熱馬勝出的話，就算是中了六環彩特獎，彩派也很乏味。

傳統智慧教導我們，人多的地方別去，甚至應該與大眾為敵，是很有道理的。假如6場馬機會率最大3匹馬的expected odds都是3倍、4倍和5倍，一場選2匹馬，就會包含了機會率為1/(4*4*4*4*4*4)=1/4096的1注，但錯過了6個機會率為1/(3*3*3*3*3*5)=1/1215的注項，中前者的機會率還不到後者的1/3，卻彩派乏味，後者顯然是“高概率高賠率”之選。更極端一點，若其中一場的頭馬是15倍的半冷門，派彩絕對“和味”，其機會率是1/(3*3*3*3*3*15)=1/3645，仍然比食之無肉的全買次熱門為大。

三寶和六寶半全場這兩個彩池，原理和上述例子是一樣的，同樣因為人們思維和操作的誤區，存在概率較高而超賠率的組合供投注者發掘。將這種方法用於其他大彩池，亦未嘗不可。比如四重彩，池某曾嘲笑過電視賽馬直播主持人每場1膽拖6腳共480注的四重彩提供，那是傻瓜才會用的投注方式。如果想低成本經營玩1元1注，聰明的做法是將之拆成多個1膽拖4腳來玩。假設各只“腳”的預期機會率由大至小排列是1、2、3、4、5、6……，“膽拖3456”這類的組合，顯然屬於“低概率低賠率”，棄之絕不可惜，對整體機會率影響也不大，更不如“膽拖1237”的機會大及值博。

還有一個很趣的彩池是孖寶半全膽。池某此前曾將之簡化為“單場半全膽”與Blog友討論，如果預期一場球賽的結果為1:0，口袋裡只有10元，應該買（0:0,1:0）還是（1:0,1:0）？若再複雜一點，預期一場球賽的結果為2:0，口袋裡只有20元，在（0:0,2:0）、（1:0,2:0）和（2:0,2:0）這3個組合中，應該買哪2個？想通了，就可以去摸魚了。

低能高效的炒股秘笈

看圖競猜遊戲：把一個交易日分成七個時段：A、前一天收市到今天上午10點；B、10點至11點；C、11點到12點；D、12點到下午1點；E、1點到2點；F、2點到3點；G、3點到4點。如果在每個時段開始時買入，結束時沽出，上圖是2009年3月9日牛市以來，在各個時段投資標普500指數的表現，七條曲線之中，表現一支獨秀的淺藍色線是哪個時段？

Tips：一家名為Bespoke Investment Group的美國投資研究公司不久前公佈了其研究出來的“炒股秘笈”，今年以來，如果按上述七個時段來交易，最賺錢的操作是B，即上午10點買入，11點沽出，每個交易日重覆操作，累計下來有5%的利潤，跑贏大市超過6個百分點；表現最差的是A，虧損4%。

那麼，上圖鶴立雞群的淺藍色線是B？錯！正確的答案是A。原來，把數據範圍擴大之後，看長期回報，結果會完全不一樣，而且相當有驚喜。

Bespoke公司的分析師說，當市場沒有發生交易的時候，多數情況下都在漲，如果只在上午9:30至下午4點間交易時段買賣，而每天晚上沒有參與市場，將缺失巨大一塊利潤，因為來自公司、經濟和其他方面的新聞極大地影響了股票價格，即使在市場休市的時候。長遠來看，大部分上漲發生在休市的時候。所以，不要在每天開市後買入，而且應該持股過夜。

池某不知道把同樣的方法應用到港股效果會怎樣，但覺得在邏輯上也能解釋得通。第一，早上10點後不是一個好的買入時機，因為很多銀行、股票行處理月供股票時，都是選擇在這個時間點買入，是不問價格地掃入，散戶在若這個時間入貨，買到貴貨的機會很大；第二，每天收市前入貨應是個理想的時機，因為炒“即日鮮”者都會在這個時候不問價格地出貨，令這個時段的股票價格相對便宜。

這種毫無技術含量的操作方式看似很簡單、很低能，但池某從來不敢小看其成效，池某炒股的比較得意之作，用的就是類似的低能方法（見“準到爆的股票買賣信號燈”一文），效果比起那些計餐懵的公式和模型，有過之而無不及。

1982年，數學家James Simons開設了Renaissance Technologies公司，用數學模型來炒股，他於1988年成立的Medallion基金，在之後20年的年均回報率高達38.5%，跑贏巴菲特和索羅斯成條街。Simons對他採用的models一直守口如瓶，從來不公開談論，因其數學家的身份，使得Renaissance Technologies更顯神秘，成了高深莫測的象徵。

Renaissance Technologies創始人之一，同樣是數學家的Sandor Straus後來公開談到Medallion曾經用過的一個交易模型：如果某個期貨的價格在開市時遠高於前一天的收市價，就沽空這個期貨；如果開市價遠低於上一天的收市價，就買入。就是這麼一個簡單到近乎低能的模型，當年卻給這個“高深莫測”的基金賺了很多錢。

從馬後炮的角度來看，這個簡單而有效的交易模型是相當合理的：市場總是容易反應過激，有好消息時，股價通常是狂升再回落；有壞消息時，股價通常是狂插再反彈。

由此可見，炒股的秘技並不高深，但，有個前提──必須在別人有同樣的發現之前才有效。如果其他人也發現了同樣的盈利空間，一齊行動，這個空間也就不復存在了。故，秘笈的成功在於“秘”，一旦成了“笈”，就是這種方法壽終正寢之時，可謂見光死矣。

神秘的0.73

在“超準的估市方法”一文中，池某以0.73這個數字製造了一個神奇的估市效果，儘管池某並不看好這個方法在實戰中的使用，但在池某心目中，這仍是當前最具科學含量的方法之一。故事要從100多年前說起……

1906年，一位名叫Harold Edwin Hurst的26歲英國青年去到埃及，62年之後，帥哥熬成白頭翁，最終解開了一個自法老時代就存在的跨世紀謎題──尼羅河的洪水之謎。

早在公元前450年，古希臘旅行家Herodotus就曾描述尼羅河的河水每年在夏至日開始上漲，洪水將河底肥沃的土壤帶到地面，人們可以比世界上其他地方的任何人付出更少勞動而獲得豐收。問題是，尼羅河的洪水時高時低，怎樣才能預測下一年的水量呢？Hurst初時也對此一籌莫展：已有大量意在預測洪水的調查，沒有任何實際用途，即使知道了一年的水量，也無法預測下一年的洪水會怎樣。

Hurst發現，尼羅河的河水高低變化跟擲硬幣式的隨機遊走不一樣，其高低差距要比擲硬幣所依從的平方根律更大，高的數值更高，低的數值更低。問題不在於每年各自的洪水量，而在於天氣的變化：乾旱年之後，更可能是持續的乾旱；大洪水年過後，仍然會有較大的洪水。影響河水高低的不僅是洪水的量，它們的準確次序更是關鍵。

有別於傳統的統計方法，Hurst提出了一個計算變幅的更好方法：在變動長度和起點的時間間隔，通過移動間隔內的趨勢開始調整數據，之後才計算變幅。這就是重標極差分析法（Rescaled Range Analysis）。Hurst以此解決了洪水問題，他還發現，這個方法可以廣泛應用於其他現象。他觀察了其他自然和社會現象，所有現象都符合一個簡單方程，變動範圍的擴大不是依照隨機遊走的平方根律，而是0.73次方。

池某每次看到這個故事都不禁悠然神往，腦海浮現一個謹小慎微的老頭子形象，白天蹚着河水，晚上埋頭數字堆裡，孜孜不倦地探尋求索，為千年歷史難題浮一大白，為當代利民工程闢出可依之法，為未來知識探索開啟方便之門……Cool！

有美好的故事就會有人想續寫更美好的續集，但珠玉在前，後來者只會變成狗尾續貂。Hurst的一句尼羅河洪水計算方法可廣泛應用於其他現象，引發無窮遐想，很自然人們會聯想到河水的漲漲退退跟股市的升升跌跌並無二致，特別是連續的乾旱和洪災，跟牛市的升完再升和熊市的跌完再跌更是如出一轍。於是Hurst的計算方法便順理成章地被應用到股市了。

最直接的做法，就是利用Hurst指數大於0.5即顯示時間序列走向帶有持續性的特點，像移動平均線一樣製造一個移動的Hurst指數，去預測股市指數的轉角位。不過這個方法太遲鈍，往往十年八載都等不到一個交易信號。於是有人想到用每分鐘的交易數據，製造成高頻移動Hurst指數，尋找更密集的交易機會。

這兩種方法近年常見於多家券商的研究報告。出於對Hurst的尊敬，池某曾特別搜集這些研究結果一一檢驗，發現報告中以過去數據模擬過去交易都相當有效，用來預測當前或將來就……呵呵呵……還不如直接使用0.73來得簡單、直接、準確。

移動Hurst指數效果不理想並不令人意外。其一，Hurst分析的原意，是要反映數據的長期記憶，而將數據分段切割製造成移動指數，無疑是對原意的閹割扭曲；其二，上世紀之前，並沒有尼羅河的斷流紀錄，而股市每日休市的時間長，交易的時間短，每每一開市就是裂口高開或裂口低開，把Hurst的計算方法從河水生搬硬套到股市，是否有可比性很成疑問。

那麼為什麼以過去數據模擬過去交易看起來相當有效呢？這並不希奇，池某在前文已經用0.73示範了一次。選取特定時間間隔的數據（美其名為歷史數據）去遷就特定的計算方法，總能“撞”中一次令人驚訝的結果。那些能show出“往績”令人信服的技術指標，其實也是一樣。你還相信那些ｘｘ線、ｘｘ指標、ｘｘ通道可以有效估市嗎？反正我不信。恐怕這些指標的創造者自己都不會信、也不會用。

習近平見馬英九 誰賭贏了？

池某很討厭政治，過去的文章也盡量避開政治不談。不過，既然談到賭，還是不能不留意一下政治，畢竟，歷史上真正的豪賭都是在政治場上。以前的政治鬥爭是在賭命，現在的政治博奕稍為文明一點，也好不到哪裡去，往往是以別人的利益作籌碼，包括你我他的利益。作為一個投資者、賭徒，對這些政治博奕可以不參與，但不能不知道。

習近平會見馬英九，是1949年後兩岸最高領導人的首次會晤，必將被載入史冊。這次會面被視為一場博奕，不無道理，尤其是對於還有半年就要落台的馬英九來說。有分析稱馬英九跑去朝拜天朝習大大是為了70日後的台灣大選，幫國民黨增加新的籌碼。池某認為這種看法是高估了他也小看了他。

高估了的是這次選舉在馬英九心裡的重要性，在民主社會，政黨輪替是常態，而且這次不管是誰上台，都代表了馬氏政權的完結，馬英九至於那麼在乎誰輸誰贏嗎？小看了的是馬英九對歷史定位的追求，他4年前尋求連任時，已明言在第二任期冀求的是歷史定位。

這就是馬英九一直努力尋求兩岸領導人會晤的原因。不管過去7年半的政績多麼的爛、多麼的乏善足陳，不要緊，只要兩岸領導人會晤實現了，他的歷史地位就奠定了。在將來的歷史書裡，無論未來的繼任人做得多好，多麼受擁戴，都難以超越他的歷史地位。

毫無疑問馬英九是這次習馬會的贏家，對他來說，就像打八圈麻將，七圈半未開糊，臨完場前卻糊了一舖十三么。甚至，還有可能撈個諾貝爾和平獎作額外的bonus。

那誰是輸家呢？當屬蔡英文了。習馬會消息公開後，蔡英文與民進黨講話再講話，聲明再聲明，抗議再抗議，大罵馬英九出賣台灣利益，已盡顯其驚愕與惶恐。馬英九有沒有出賣台灣利益很難說，但蔡英文的利益受損是肯定的，未來，就算她成功當選，就算她幹得再好，她的歷史地位也將很難很難超越那位被標簽為“無能”的前任。別人的政治豪賭，卻押上了她的政治利益，冤不冤？

當然，蔡英文也並非完全沒有翻身機會，而前提是，她要敢拿更大的賭注去賭一舖。有什麼賭注的重要性可以超越兩岸領導人會晤呢？不外乎兩個：宣佈台獨；或，宣佈放棄台獨。

在這個博奕遊戲中，習近平更像是做莊的，唔怕你精，唔怕你呆，最怕你唔來。給馬英九一點甜頭，變成了蔡英文的壓力和誘惑，這很可能只是一個開始，要把蔡英文逼到賭桌，當然還有更直接的方法可以用。

15年前陳水扁上台時，台股是9000點左右，7年半前馬英九上台時，台股還是9000點左右，現在台股是8600多點。台股的表現，見證了一個高度內耗社會的發展境況。選擇民進黨執政，就是選擇肚子扁扁，兩岸連官方接觸都沒有，遑論經貿談判了；選擇國民黨執政，就是選擇畫餅充飢，簽什麼經貿協定都沒用，都被民進黨擋在立法院。池某正在了解有什麼途徑可以沽空台股……

超準的估市方法

風險可以計算嗎？風險可以被消除嗎？

1997年，瑞典皇家學院把當年的諾爾貝經濟獎頒給美國經濟學家Robert Merton和Myron Scholes。消息傳到美國時，Merton正在哈佛給學生上課，學生們全體起立給他鼓掌，Merton很冷靜地說，“如果有人認為既然現在可以計算投資風險，那麼就可以將風險完全消除，這實際上是個錯誤觀點。”

Merton的話對上述問題給出了他的答案：第一，風險是可以計算的；第二，風險是不可以被消除的。

在Merton和Scholes獲得諾爾貝經濟獎之前三年，他們一同作為合夥人的長期資本管理公司（Long-Term Capital Management L.P., 縮寫為LTCM）成立，當時，他們就信心滿滿地寫下了對風險的計算結果：LTCM應該有12%的時間虧損超過5%。之後他們又給出了虧損超過10%、15%和20%的精確機會率，並根據計算結果說，LTCM在未來20年才可能有一年的虧損超過20%。

不過，就在他們獲得諾爾貝獎一年後， LTCM在1998年虧損了46億美元，最終被美國聯邦儲備局接手拆解清盤。“風險是可以計算的”這句話，看來後面還是要加上一個大問號。

在兩位諾爾貝獎級別的經濟學家表演失敗之後，市場上有關風險值 （value at risk）的計算反而流行起來。風險值的定義是，在給定的信賴水準下，經過某一時間之後，持有資產損失可能超過的值。連表述的語句，都跟Merton和Scholes對LTCM的風險描述幾乎一模一樣。

現在，各種關風險值的計算方法層出不同，包括變異數–共變異數法、歷史模擬法、蒙地卡羅模擬法和極端值理論法等等。根本不用記這些名稱，也不用懂其背後原理，就知道這些方法都是沒有用的。很顯淺的道理，如果其中有一種方法是準確的，這種方法早當一統江湖了，那容其他方法來佔一席之地？

眾多方法中，最為普及的是變異數–共變異數法（Variance-Covariance Method）。其公式是：假設投資組合的市場價值為V，投資組合的報酬波動度為σ且信賴水準為α下，當持有該投資組合的期間為t時，風險值VaR=-Zα*σ*V*t^0.5

既然風險值可以這樣計出來，那當然可以用同樣的方法來估市了。池某曾經看過一個蛻變自風險值計算的估市方法：先計算過去一年收市價的均值μ和波動標準差σ，以最後收市價W為基礎，對於未來第t個交易日，合理的頂就是W+μ*σ*t^0.5，合理的底就是W-μ*σ*t^0.5。

不用細想，一看就知道這個估市方法是不可能成功的。原因是，股市價格的變化，並不服從正態分佈（normal distribution），而是呈幂律分布（power law distribution），故公式裡的t^0.5肯定是不對的，是經不起震蕩的。

例如，用恆生指數去年的數據來預測今年的市況。從Google財經或Yahoo財經都可以找到恆指的歷史數據，很容易就計算出去年恆指收市值的平均值是23230.52，波動標準差為0.009，去年底的收市值為23605.04點。如果要估頂，根據上述公式，“合理的頂”就是23605.04+23230.52*0.009*t^0.5；一月未過，恆指就已升穿這個頂，24000多點就要“逃頂”了，失敗！

池某記得幾年曾經看過一本書，裡面提到自然界與社會生活中各種幂律分布現象，其中最普遍的幂律是0.73，那就把t^0.5換作t^0.73試試，繼續估頂，結果是……

池某真是被嚇了一大跳，看到目瞪口呆！在今年第77個交易日，也就是23605.04+23230.52*0.009*77^0.73=28587.45時，赫然發現今年唯一一個高於“合理的頂”的高位出現了，而這個正是今年恆指真正的“頂”──28588.52點。兩者之差僅1點而已，真係準到嚇死人！

溫馨提示：

雖然文中提到的估市方法比很多傳統方法更科學、更合理，但池某必須鄭重指出，這個方法在實戰中是沒用的，Blog友們千萬不要急著去使用。

池某舉這個例子，目的是想說明，只要耍一點點取巧手段，要“製造”一個有理論基礎、有根有據、有真實數據及往績支持，且看起來精準無比而令人信服的估市方法，是輕而易舉的事。同樣，大家經常看到的那些“專家”、“教授”、“大師”整天在搬弄的ｘｘ線、ｘｘ指標、ｘｘ通道、ｘｘ方法……，其實也就是這麼回事，沒有一個是可以信賴的。估市，是諾貝爾獎級別的大師都做不到的事。

至於0.73為什麼這麼神奇，且看下回分解。

欲成贏家 先數身家

上文提到，資金本身的規模會影響價格從而降低回報率，這是實戰中很常見、而模擬倉或紙上談兵者很容易忽略的。在這裡，要談另一個常被空談者漠視而拖累回報率的問題：對新增資金的處理。

在“守株待兔　等待不理性”一文的留言中，曾粗略討論到對新增資金的處理不容忽視，否則會大大損害投資回報率。有blog友引述某教授的書說，“指數基金比炒賣更容易賺錢，假設一個人設定恆指8倍以下買入，20倍以上賣出，必須嚴格執行，在過往幾十年大約只有兩次機會買入賣出，這兩次操作已經令回報率跑贏很多人。”

是否真的如此呢？最好用數字說話。按“恆指8倍以下買入，20倍以上賣出，必須嚴格執行”這個要求，最近的買入機會是2009年1月和2月，再對上一次已經是1984年7月，很多blog友還未出生呢，而且那個年代還沒有2800，不提也罷。而從2009年到現在，並沒有賣出機會。

假如一個人每月有5000元可以用於投資，按上述要求執行，若他在2009年3月之後才開始投資，回報率就是零；就算是在2009年2月開始，回報率也是零，因為5000元在當年也不夠買一手2800。那就假設他從2008年1月開始儲錢投資吧，儲到2009年1月，等埋月尾出糧，按當月收市價13.4元計，13個月積蓄可以買4500股，還有4700元現金，再等到下個月出糧，以該月收市價12.98元計可以買多500股。之後就沒有買賣機會持貨到現在了。

5000股平均成本價為13.36元的2800持貨82個月到今天（收市價23.95元），加上累計股息4.79元，純利是76900元。相對於當初投入的本金，回報率是115%，成績很不錯。不過，別忘了，這82個月來每個月5000元的儲蓄並沒有停，當然也不能對這些被閒置的資本視而不見。以41萬元的總資本來算，76900元的純利只是18.8%的回報率而已，化為年複式回報率，更是低至2.55%，還遠不如月供股票。這顯然是個糟糕透頂的投資建議。

神級的投資者是怎樣建議的？兩年前，巴菲特接受USA TODAY專訪，他給予投資人的建議是，“你不用每星期或每個月、甚至每年看你持有的股票價格……如果你隔段時間就買進，你就會操作得很好。”

股神這句話足以令“偽價值投資者”們搲爆頭：第一，股神沒有建議買“便宜貨”，而是要不問價格地買；第二，這個方法看上去像是月供又分明不是月供──他沒指明要在固定的時間買，也沒指明要買固定的金額。

當然，如果還記得Edward Thorp說過巴菲特是用Kelly criterion的思維方式來投資的話，要解開這個謎團就一點都不難。

Kelly criterion比較方便用於股票投資的公式是：f = p/a – q/b；其中，f是投入資本的最佳比例，p是盈利的機會率，q是虧損的機會率，a是虧損幅度，b是淨盈利率。

雖然公式中的a、b、p和q是很難作準確的估算，但有一點是可以肯定的，對於一只升跌機會均等而且有股息的股票，f不可能是零。詳細解釋見“一條公式走天涯”一文。

按照公式，當投資者的資本不斷增加，而市況沒有大變化時，就應該按適當比例把部份資金投入股票來維持f的數值，否則f就會越來越小，離“最佳比例”越來越遠，以致回報率越來越低了。這足以表明“恆指8倍以下買入，20倍以上賣出”之類的投資建議是多麼的荒謬。

那麼月供呢？如果以部份每月新增的資金作月供，情況會比上述的例子稍好，但還是會有f越來越小的現象，只是變小的速度稍慢一點而已。可見，月供股票也是無法取得最佳回報的。

現在回過頭來看，就很容易理解巴菲特為什麼只建議“隔段時間就買進”而不建議月供了，看似很隨意的一句話，卻是嚴謹無比，沒有一點漏洞可以挑剔，這正是股神精明而狡猾之處。

無論如何，至此，投資的大原則可以確定了：是否買入資產，首要因素不是看價格，而是看身家。如果現金佔身家比例過高，就應買入資產。當然，買多買少，還是要看價格的。

後記：

池某前文提及，“雞仔注”對整體身家的增長助益非常有限。很快就有老同學whatsapp來挑機：中10元一注六合彩也無助身家？

池某頓時語塞，只好認衰。沒辦法，六合彩這種缺乏技術含量的極小概率遊戲，池某平時真的很少玩。

沒想到他又出招：幾十倍的冷馬一季沒多少只，幾百倍的大彩池也算是小概率事件，敢說“不勝枚舉”？還是冇例可舉？冇圖冇真相。

池某又語塞了。雖說池某的一大堆公式運作得還算不錯，但遠遠未到想中就中、話贏就贏的境界，輸贏還是要看randomness站在哪一邊的。見“有限的運氣 ”一文。

幸好，今日一覺醒來，發現randomness暗暗幫了池某一把，不然又要被那厮KO多一次了。

投資如打仗 你能帶多少兵？

股市回升，池某身邊談股的聲音又多起來了，有的說持股一個星期膁了一成，有的說持股兩個星期賺了兩成，興奮之情溢於言表。池某總是不忘問他們一句：你投入的是你全副身家嗎？

不是？那有什麼好高興的。局部的“戰果”，根本不能反映全面的回報率。兩三萬元買一只股票，就算賺了兩三成，利潤還不到一萬元，對整體資產的增加能有多大的幫助呢？如果只是想說明自己在很短的時間就取得很高的回報率，這種“戰績”就更不值一晒了。池某持貨不到兩分鐘就賺幾十倍，持貨不到兩個小時就賺幾百倍的例子，不勝枚舉。

池某從來不認為中一次幾十倍的冷馬或幾百倍的波馬大彩池是值得拿出來晒的，原因簡單不過，買10元中一匹99倍的冷馬，利潤還不到1000元，不過是身家的零頭的零頭…而已，有什麼好炫耀的？

或問，既然有大冷“心水”，為什麼只買10元，不買個10萬元？首先，重溫一下Kelly criterion，最優化注碼分配是f = (p*o-1)/(o-1)；在這裡，f是要下注的賭本比例，p是取勝的機會率，o是賠率。顯然，對於冷門來說，p的數值只會是很小的，從而，o越冷的話，算式分子的增加也會比分母慢。故此，賠率越冷，注碼越小，才符合最優化的下注比例。

其次，一個很現實的問題，在香港賽馬的Pari-mutuel彩池中，下注10萬元於一匹99倍冷馬之後，那匹馬的賠率還有可能是99倍嗎？也就是說，在同一個戰場中，10元錢能取得的回報率，10萬元是不可能做得到的。

司馬遷《史記•淮陰侯列傳》記載了一段劉邦與韓信的對話：上嘗從容與信言諸將能不，各有差。上問曰：“如我，能將幾何？”信曰：“陛下不過能將十萬。”上曰：“於公何如？”曰：“臣多多而益善耳。”

這就是“韓信將兵，多多益善”的出處。過去，池某總是對韓信之言不以為然，帶兵打仗，對哪個將軍來說應該都是多多益善呀，怎會有上限呢？池某常說投資如打仗，誰都會認為資金是多多益善，不會嫌錢多。

在看燈炒股套現一筆錢後（見“準到爆的股票買賣信號燈”一文），池某終於感受到兵多的煩惱了。投機的機會是可一不可再的，不可能期待高回報的投機機會一直持續，直到永遠。那麼，還有什麼途徑可以讓手上的資金安全有效地增值呢？池某還是想到了股票。池某雖然不擅於股票分析，可是巴黎、味皇、市場先生等高手的blog已追看多年了，跟著這些高手還會錯嗎？

不過，池某很快又發現了新的問題，跟著這些高手是不會買錯，問題是跟不上呀，像他們推介的281、298等等，一天成交額才幾萬元，如果手上的“兵”多至以“球”計，在這個戰場根本不足以展開陣勢，除非一直追價追到連護城河都不再存在為止，情況就像重注買冷馬一樣，資金本身的規模就會把潛在的回報率消滅掉。

想以10萬元取得跟10元資本一樣的回報率是很難的，想以10球去取得跟10萬元資本一樣的回報率也是很難的。小注投資取得高回報率不難，要為全副身家大幅增值卻很不容易。多多益善這句話不是誰都能說的。

準到爆的股票買賣信號燈

股票，池某好大個才開始買。這是池某早前對細細個就開始買股票的Blog友RkwC君的回應。池某遲遲不涉足股票投資，有兩個原因：一是對股票風險和回報的計算沒有把握；二是有個心理陰影。

賭波的賠率是固定的，賭馬的賠率雖然有變化但起落不會太大，所以賭波賭馬面對的風險和回報盤算相對單純，心裡大致能有個譜。股票要複雜得多，早一天買和晚一天買的風險可以不一樣，早一分鐘賣和晚一分鐘賣的回報可以差很遠，其複雜程度已經超出了池某的計算能力。加上池某不懂經濟不懂金融不懂財務，大學時曾選修會計但只上了一堂就悶到嘔，趕快drop掉，Benjamin Graham的《證券分析》也只是翻了兩頁就看不下去，束之高閣。要去分析股票絕非池某杯茶。

至於那個心理陰影，來自池某早期的一份工作，那是一家金融相關的公司，現在已經在主板上市。池某當時的那些同事，個個說起經濟理論來都是凱恩斯再世，談起選股都是彼得林奇翻版。池某有時想質疑一兩句，都不可能，因為他們連辯才都如公孫龍的傳人。更厲害的是，他們都掌握市場的第一手消息，絕對要比看電視看報紙去了解市場訊息的股民優勝幾條街。不過，每每坐下來飲茶食飯宵夜，埋單的總是靠賭馬有些斬鑊的池某，那些“市場精英”同事們不是損手爛腳，就是蟹咗。

於是，池某心裡留下了一個陰影，以為市場是無法打敗的。股票跟賭馬真的很不一樣，賭馬雖然沒有把握跟大鱷們一拚，但自信欺負那些拿份馬經蹲在投注站門口的大叔老伯是綽綽有餘的。而對於匯聚了最精英人才、最高端知識和最先進科技手段的股票市場，池某真是提不起半分自信。

後來池某轉工，轉去一間遠離市場訊息的公司，反而因為一個意外的發現，開始買股票了。

話說池某隨新東家進駐甲級寫字樓，那層樓只得兩間公司，一間是池某服務的非上市公司，旁邊的是一間在主板上市的公司。池某發現，這間上市公司的總部和所有業務都在大陸，在香港的辦公室只是個擺設，並不用來辦公，所以平時都是烏燈黑火、大門緊閉，只有需要趕工在港交所披露易出公告時，才會燈火通明。

池某經過大半年的觀察，驗證了這個發現基本不差。而且這個公司正處於快速擴張階段，每次出公告，多數是公佈新項目，總能刺激股價一彈再彈。池某覺得，這個發現跟賭馬時掌握某個不為人知的優勢沒有兩樣，沒理由不善加利用，押注下去。於是，池某設計了一個交易模式：在那家公司亮燈而股價未動的時候就買入，到其出公告後股價上升而又燈光不再時賣出一半。

對於那只股票池某並沒有意願持股太多，因為當時那只能算是三線股，淡靜時一個交易日只有一兩百萬元成交額，而且股息低至接近零。儘管如此，幾年下來手上的股票還是累積了不少。後來，池某的東家搬離上址，池某感到自己的“優勢”不再，加上那間上市公司開始壞消息不斷，於是將手上的股票清倉。埋單算帳，大部份的持貨都取得三四倍左右的回報，最低價入貨的小部份，回報率更達六七倍。

這次投機式的股票買賣帶給池某很多新的思考，其中一個最迫切的問題是，當手上持股多到半日的股價波幅就相當於自己好多個月的開支，實際風險承擔和心理上都隱隱感到不安時，是否應該繼續投機下去？就此收割之後，坐擁一大筆現金，如何才能讓這些資本有效地實現可持續增長？要解決這些問題，需要新的角度，新的思維，新的視野。

（後記：今日一看，那只股票比起池某當日清倉時原來又升了三倍多。）

屍橫遍野（慎入）

警告：以下內容意念非常邪惡，畫面極之殘暴，讀者請慎重考慮是否看下去。

池某近日彷彿回到校園時，整天沉迷打機，荒廢正經事。

令池某困於其中不能抽身的是一個頗舊的手機遊戲Real Racing 3。話說池某玩NASCAR賽車，在TEAM PENSKE冠軍盃，只差一場Richmond International Raceway（夜晚）20圈賽事就爆機了，無奈池某的FORD FUSION戰車就像食了成擔豬油，總是跟在42架車後面食塵，踩盡油門都無力上前，令池某又氣又恨。

怒從心上起，惡向膽邊生。池某一怒之下猛扭軚盤，來個南轅北轍，逆向而行，顯露與大眾為敵、見一個殺一個的邪惡本色，向迎面呼嘯而來的車群猛撞過去，只見火星四濺之後，車群如保齡球般四散亂竄，隨即波及後面飛馳而至的車輛，亂作一團。池某繼續逆向行駛，瞄準迎面而來的車輛，見一輛撞一輛，幾個圈之後，再也見不到開過來的車輛了。

這時，池某才掉轉車頭，開始20個圈的遊車河之旅，還可以施施然地觀賞一路遍地屍骸的詭異“風景”：42輛賽車橫七竪八地遍佈賽道，有的動也不動冒著白煙，有的如喪屍般跳竄幾下又沉靜下來。如果這是真實的世界，絕對算得上是世紀大災難。

池某就這樣贏了，本來是怎樣玩都玩不贏的比賽，結果是贏來完全沒有對手、沒有競爭，成了獨自表演。而輸贏的關鍵竟然是：逆向而行！

回到現實世界，大都市的生活，跟賽車世界何其相似，求學、工作、投資，大家都是看著同樣的目標，隨著大流追追逐逐，一圈又一圈的重重複複、兜兜轉轉。到頭來，有多少個贏家？有多少人食塵？離經叛道的逆向操作，有多少人能想得到？又有多少人真的敢做？

守株待兔 等待不理性

有效市場假說（Efficient-market hypothesis）對有效市場的定義是：如果在一個市場中，價格完全反映了所有可以獲得的信息，那麼就稱這樣的市場為有效市場。有效市場假說認為，在一個有效市場中，任何投資人都無法持續擊敗市場而賺得超額報酬。

必須留意的是，這個理論建基於三項假設：一、投資人皆理性；二、信息實時公開且獲得信息無需負擔額外的成本；三、無任何投資人的力量足以單獨影響價格的變動。

那麼，以由大衆“定價”的平分彩金（pari-mutuel）彩池為主的賽馬博彩，算不算是有效市場？

先看一個極端而又真實的例子：2013年4月7日，沙田馬場出現了令人驚愕的一幕，一個冷門三重彩單式組合，竟然有人投注3000萬元，打到只有1.1倍的賠率。該場賽事上陣馬有12匹，三重彩共有1320個組合，這個離奇組合的投注額，竟佔了整個三重彩彩池的81%，而令其它組合的回報率好得超乎尋常。

這一個例子，已可將上述三項假設全部否定。第一，投入大本錢於一個機會率不大而賠率只有1.1倍的組合是否理性？否；第二，出現這宗馬場懸案的原因至今仍然是個謎，信息是否實時公開？否；第三，沒有人的力量足以單獨影響賠率的變動？否！

結論：在pari-mutuel的賽馬博彩中，上述三項假設都不成立。因此，pari-mutuel的賽馬博彩不是有效市場；因此，pari-mutuel賽馬博彩的賠率並不能完全反映所有可以獲得的信息；因此，在pari-mutuel賽馬博彩中持續擊敗市場而賺得超額報酬是可能的。

從另一個角度看，一個賽局的開始到終結，其實是一個從“0至1”到“0或1”的轉變過程。一場馬開跑之前，每個組合都有機會，可以賦予一個“0至1”的機會率；到派彩時，各個組合的機會就只有“0或1”。

因此，理論上，除非勝出的組合一直保持1.0倍的賠率不變，否則，賠率的每一次變化，只不過是以新的不理性去修正之前的不理性，不管賠率怎樣隨著信息的變化而起起落落，盈利的空間無時無刻都是存在的。當然上述三重彩例子那種極端而明顯的情況並不常見，但那僅僅是程度大小的差別而已，盈利機會還是無處不在。

池某在這裡呼籲各位網友，不要再私信池某問tips了，池某並沒有預知“0或1”的能力，所謂“賭技”，不過是守株待兔，等待別人不理性犯錯罷了。

（此文從“舊居”搬來，原文發表於2014年9月13日。）

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補充於2015年10月12日：

年前，有人在網上推銷一本分析賽馬賠率的書，開宗明義地說：

這本書對賽馬的資料分析基於一個很強的假設：“賠率反應一切市場訊息”。正如同做股票技術分析一樣：“價格和成交量反應一切市場訊息”。

池某看了這句話頓時心裡“打個突”。大佬，投資如打仗，投入的是真金白銀，尤其是zero-sum的賭局，從來都是逆境作戰，危機四伏，有如火中取栗，下注前須上至天文下至地理，所有想得到的因素，無不如履薄冰地檢驗一番，如華萊士兄所用的字眼，把所有條件都“驗屍咁驗”，猶恐料敵不周，料事不慎，怎能事先就幻想戰場會符合某種“假設”呢？更何況這個假設擺明是錯的。

脫離實際的學府，被稱為象牙塔，傳統的教育確實是這樣，只為方便灌輸“知識”，而故意把知識建構於假設的環境中。比如中學物理的傳統力學，幾乎每一道題都是假設摩擦力或空氣阻力不存在，因為只有這樣，才能展開牛頓力學的漂亮算式。很明顯，這樣的“知識”，不管學得多好，不管演繹得多深奧，都是無法用於實際的。學識淵博、智慧超群的牛頓爵士在股票市場中鍜羽而歸，不是偶然。

池某並不是要批評或嘲笑那本書的作者，相反，池某敬佩且讚賞任何能突破傳統的新意念、新方法。如果將這些新的想法用於學術討論或技術交流，說不定還能激發新的火花。但是，一開始就把建基於假設而未經實戰考驗的方法當作搏殺工具來sell，顯然是不妥的。不客氣地說，那只是經過技術包裝的不理性而已。

贏，須與大眾為敵

日前與台灣“未來事件交易所”首席顧問童振源教授討論Prediction markets（預測市場）的運作，盡管童教授強調“未來事件交易所”目前的預測准確率已在95%以上，但池某心裡還是有個疑問：如果“大眾”的判斷是精准無比的話，那麼直接呈現大眾取向的平分彩金（pari-mutuel）彩池，例如賽馬的獨贏、連贏等彩池，豈非完全沒有盈利的空間？

先說明一下Prediction markets的運作原理。西方有一句話，“Never underestimate the power of stupid people in large groups”，中文的意思是，絕不能低估一群笨蛋的能耐。文雅一點說，就是“三個臭皮匠，勝過一個諸葛亮”。

在學術研究中，還真有這種關於“三個臭皮匠勝過一個諸葛亮”的實驗，行為統計學裡就有一個著名的豆糖（jelly bean）實驗：教授上課時拿出一個裝滿豆糖的瓶子，讓學生猜瓶子裡豆糖的數目；盡管好多學生所猜的數量與真實結果相去甚遠，但把大家所猜的數目取平均數，卻總是跟真實結果驚人的接近。

Prediction markets就是這樣一種集合了“眾人智慧”的預測方法。“未來事件交易所”早前曾打出“信專家不如信大家”的宣傳標語，一語概括了其要義。

在實際操作中，Prediction markets是透過期貨或股票交易機制匯整有效信息，通過市場機制使交易價格反映事件發生的結果或機率。毫無疑問，Pari-mutuel彩池也是由“大眾智慧”預測事件發生機率的一種Prediction markets呈現方式。

如果上述理論成立，Pari-mutuel彩池中由大眾取向所決定的賠率，例如一場賽馬的獨贏賠率，應已能准確反映出每匹馬的取勝機會率，那麼其結果就是沒有人可以從這個彩池贏到錢了。聽起來跟描繪股票市場的“有效市場假說” （Efficient Markets Hypothesis）很相似。

要證明一個理論成立很困難，要質疑它則容易得多，找到一個counter example就行了。顯然，這樣的例子到處都是。就如巴菲特所說，“如果市場總是有效的，我只能沿街乞討”。

與大眾為敵，是一個賭徒應有的基本態度。

（此文從“舊居”搬來，略有刪節。原文發表於2014年9月9日。）

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補充於2015年10月9日：

用到“與眾為敵”這個詞作標題，回看起來似乎有些偏激，大概是寫這篇文章的時候，正在看Peter L. Bernstein的Against the Gods: The Remarkable Story of Risk，中文譯本就叫“與天為敵”，於是“借用”了這個豪氣萬千的詞。

撇開用詞問題，投資時遠離大眾，甚至是站在大眾的對立面，是錯不了的。大家都在搶的股票，不要跟著搶，有貨在手的話還應該派些貨益街坊；大家都在沽貨時，不妨捱義氣接下貨。這是很多投資者都懂的道理，也就是所謂的“遠離羊群”。

再看看Benjamin Graham“市場先生”的故事：

“設想你在與一個叫市場先生的人進行股票交易，每天市場先生一定會提出一個他樂意購買你的股票或將他的股票賣給你的價格，市場先生的情緒很不穩定，因此，在有些日子市場先生很快活，只看到眼前美好的日子，這時市場先生就會報出很高的價格，其他日子，市場先生卻相當懊喪只看到眼前的困難，報出的價格很低。另外市場先生還有一個可愛的特點，他不介意被人冷落，如果市場先生所說的話被人忽略了，他明天還會回來同時提出他的新報價。市場先生對我們有用的是他口袋中的報價，而不是他的智慧，如果市場先生看起來不太正常你就可以忽視他或者利用他這個弱點。但是如果你完全被他控制後果將不堪設想。”

“大眾”不正是這個“市場先生”嗎？

有限的運氣

池某這個月的“戰績”很不錯，是去年8月以來盈利最高的一個月。朋友問有沒有總結出什麼原因。真是多此一問，原因不就是兩個字嘛：運氣！

不是吧，動用了“宇宙最強”的公式，還有那麼多“最優化”的系統，贏錢不是理所當然的嗎？怎麼還要靠運氣？池某不是故作謙虛，說的都是實話。

先看看這個例子，以100元本金玩擲硬幣游戲。假設，每次只能押注一面，猜錯會輸掉注碼，猜中賠率為3倍。根據Kelly criterion，每次最佳的投入注碼比例為(0.5*3-1)/(3-1)=25%。

如果第一次猜中，本金變成100-25+25*3=150元；如果第一次猜錯，本金變成100-25=75元。如此類推，連續5次猜中，本金將大漲至759元；連續五次猜錯，本金將萎縮至23.7元。意想不到吧，表面上佔盡優勢的賭局，而且運用了最優化的公式來玩，結果還是有可能在五輪之後輸掉超過3/4的本金。

懂數學的會說，只要硬幣是公平的，根據大數法則，一直玩下去猜對猜錯的次數就會趨於一半一半，遊戲結果也會趨於理論值。

這話沒錯，不過，別忘了，數學的偉大在於什麼都能解釋到無限，人生的無奈在於什麼都有限。真實值接近理論值，是實踐次數越多、趨於無限時才會發生，現實中我們不管賭多少次，總是有限的，只要是有限，結果就會跟理論值有偏差，就要取決於運氣。

於是，“宇宙最強”複式增長“滾”動系統的問題也因此曝露出來了。第一個問題是時間有限，眾所週知，只要保持7%的複式增長，十年就可以把資本翻倍，問題是，人生有幾個十年？第二個問題是資本有限，如果本來資本就很少，基數很低，譬如手上只有1萬元，好不容易“滾”到翻倍才2萬元，那又有什麼意思？

談到這裡，可以回應網友有關拙文《病態賭徒劉備教了我們什麼？》的討論了，大家最大的疑問是，賭了一輩子的劉備，為什麼會把全部籌碼押在伐吳，而覆沒於彝陵之戰？

池某不是學歷史的，但對於歷史學家那種看著結果找原因、歌頌勝利鞭韃失敗、硬要把偶然說成必然的論調並不同意。從賭徒的眼光來看，劉備在丟了荊州之後大舉伐吳是正常不過的，原因就是上述兩個。

第一，比領導人，跟孫權、曹丕相比，年過六十的劉備當然很清楚自己時間有限，而他的接班人是什麼材料，他就更清楚了，大耳先生賭術一般，相人可是一絕，連馬謖都逃不過他的法眼。第二，比資源，丟了荊州之後，劉備的人口、錢糧和兵源等等資源基數大幅降低，之後怎麼“滾”都沒意思了。所以，盡快把輸掉的贏回來、保持發展基數不倒退就成了當務之急，在戰略上這種想法並沒錯。至於戰術的對錯，那是另一個層次的問題了。

結論，不管多好的戰略、多強的系統，最後成功與否還是取決於運氣。賭徒可以做的只是盡量正確布局，不要犯錯，但這並不是盈利的保證。運氣既會眷顧好的賭徒，也會眷顧差的賭徒，兩者的區別是：好的賭徒在運氣來的時候定能逮個正著；差的賭徒在運氣來了又悄悄溜走了還不知道。

（此文從“舊居”搬過來，略有修改，修正了部份錯誤。原文發表於2014年1月27日。）

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補充於2015年10月6日：

對一項投資或投注影響最大的因素是什麼？是大多數人都想像不到的，或者是故意視而不見的，Randomness（隨機性）。想像不到，是因為對Randomness的影響無從預測；故意視而不見，因為對Randomness的影響無法解釋。

但這種影響確實是存在的，而且確確實實影響到每一項投資、每一個賭局。投資一只有很寬護城河的股票，或者投注一個很有盈利優勢的賭局，都不是贏錢的保證。用蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation)模擬一下就知道，盈利的優勢，只有在非常大的模擬次數才會成立。模擬的次數越少，隨機性的影響就越大，明明是有優勢的賭局，也常常會出現虧損。

這就說明了，為什麼好的股票應該長期持有，不應受短期波動而進進出出，因為隨著時間的過去，隨機性的影響將消減，就會見真章。

這也說明了，為什麼處於下風或者沒有把握的仗，偶爾搏一兩次也未嘗不可。因為決定一次兩次的勝負，隨機性的影響，要大於形勢或實力。

但遊戲的參與者一定要有自知之明，要明白這種仗就算是打贏了，也只是因為隨機性的幫忙，而不是自己多麼的聰明絕頂或英明神武。

如果因為買中一只倍升股或者押中一匹冷馬，就認為自己真的有挑倍升股的慧眼或者捉冷馬的天份，從而相信自己買的下一只股票也會倍升或者下注的下一匹冷馬也會勝出，那是白日做夢──但現實中真的有不少人是這樣認為，一次偶然的勝利就衝昏了頭腦。切忌！切記！

滾！滾遠點！

朋友來討教，“最安全有效的投資方法是什麼？”

“滾！”我說。

“我是想問怎樣才能讓資本增值多一些？”朋友一臉茫然。

“滾遠點！”我說。

如果說賭博有道德問題，最大的道德問題就是，賭是個恃強凌弱、弱肉強食的遊戲，為賭而賭的、或者為一碰運氣而賭的，最終無可避免要成為莊家的點心或彩池獵人的獵物。這裡說的弱者，不全然是智力或財力不足的人，更多的是那些自制力和意志力薄弱的人。

譬如，談到複式增長的威力，很多人都能搬出愛因斯坦的名言：The most powerful force in the universe is compound interest（宇宙中威力最強大的就是複利）。然而，面對一個賭局時，他們的認知能力馬上又被面前的賠率擾亂，沉迷於中一場冷門、買一只倍升股的幻覺之中，而忘掉什麼才是“宇宙最強”。

在賭場或市場中，這種亂賭亂投資的賭徒始終佔大多數。大部份的賭徒，基本是陷於一陣亢奮、幾度失落、長期沮喪的循環之中，盡失信心之後，他們有些開始相信Tips或內幕消息，或乾脆幻想自己今天的運氣會跟昨天不一樣，妄圖一場回本或一注發達。結果是在循環中越陷越深。

那，成功的賭徒是怎樣做的？前文提到的William Benter，在香港靠賭馬成為億萬富豪，據他自己公開的“戰績”，在1988年到1993年間，賭了2500場馬，使資本增長了40倍。一起算算，40^(1/2500)-1=0.148%，平均下來，一場馬的回報率只是區區的0.148%。

假如有人給你一場馬的Tips，並告訴你，投注1000元，有可能獲得不到1.5元的利潤，你會不會感興趣？相信大多數賭徒都會嗤之以鼻。但這個正是神級職業賭徒賭一場馬的平均回報率，其它所謂“專家”的Tips，回報率有可能比這個高嗎？還有什麼理由去相信所謂的Tips？

可見，真正能賺大錢的投資，並不是扒個冷門或挑個倍升股，而是要建立一個佔有優勢的、能“滾”起來的、“滾”得遠的系統。

前文說過，在零和遊戲裡，自己的利潤就是別人的錯誤；反過來說其實也對：自己的錯誤就是自己的損失，別人的利潤。這在“滾”動的系統裡尤其明顯，0.148%的優勢能“滾”成巨大利潤，些微的小錯誤也能“滾”成慘重損失。所以，不管多小的錯誤都一定要避免，不管多小的優勢都要盡力爭取。

咦？這句話似曾相識呢，誰說過？還記得前文寫到的病態賭徒劉備嗎？這個一輩子在賭天下的超級賭徒，臨終前把賭術傳給兒子阿斗時是怎麼說的？對了，就是“勿以惡小而為之，勿以善小而不為”，不是深得賭術精髓的人，又怎能說出如此意味深長的話呀！

（此文從“舊居”搬來，略有刪節，修正了一些錯誤。原文發表於2014年1月20日）

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補充於2015年10月2日：

一個投資或投注系統的成功與否，由兩大條件所決定：一是盈利優勢；二是可以做到的滾動頻率。在日常可接觸到的投資或投注機會中，找不到同時兼備上述兩者的。

最簡單原始的複利投資工具是定期存款，定期存款有帳面上的盈利保證，但扣除通脹恐怕是得不償失，絕無優勢可言，而且一年滾一次的頻率也太緩慢。

股票無疑是個較優的選擇，盈利的優勢相對較確定，不過，如果僅以股息來製造複式效應，大多數只能是一年滾一次或兩次，最盡也不過是一年四次。

賭馬的好處是滾動的頻率大大增加，香港沙田和快活谷兩個馬場一年有777場賽馬，那怕是小小的優勢，777次方之後也會變成很可觀的利潤。問題是這小小的優勢很難取得，既要克服馬會的抽水，又要同大鱷集團搏鬥，談何容易。

賭波，一場接一場，滾動的頻率更是可觀，然而，要在蝕水的前提下戰勝全球大莊的精算師，才能取得盈利優勢，難度比賭馬還要高得多。

將滾動頻率推向極限的是股市高頻交易，看看那些投資銀行爭相搬到Nasdaq交易所附近，還要不惜工本鋪設最短距離的光纖直通交易所，以爭取節省幾百萬份之一秒的交易傳送時間，就知道要取得盈利優勢之難了。那不是普通人玩的遊戲。

分散投資 OR 一注獨贏？

分散投資的概念，源於雞蛋不應放在一個籃子裡的古老風險管理意識。反對者會說，如果籃子的安全系數夠高，放在一個籃子裡又何妨，而且增加一個籃子就是增加一分成本，籃子可比雞蛋貴。這個爭拗已經延續了好多年，看來還會延續下去。

1935年，英國經濟學家John Hicks發表了一篇論文，提出分散投資的思想，他認為，當投資很分散時，可以將風險降至很低，但分散程度越高，成本也越高。這是個相當於“阿媽係女人”的發現，不過他是第一個正式寫進論文裡的，之後凡是談論分散投資的，都不得不寫他一筆，真係吹佢唔漲。但Hicks未有對資產的選擇和投資比例進行深入研究，所以寫了一筆之後，就沒有第二筆值得寫了。

1938年，一位名叫John Burr Williams的哈佛研究生出版了The Theory of Investment Value一書，這也是他的博士論文。論文中他提出了Dividend Discount Model，這是首個使用股息進行現金流估值的理論，他認為通過投資於足夠多的股票，就可以消除風險，並假設總存在一個滿足收益最大化和風險最小化的組合。他的Model和理論後來引起了兩位猛人的注意，其中一人嚴格地挑剔了這個理論的不完美，另一人則籠統地接受了這個理論的不完美。結果，這兩個踩在Williams肩膊上的猛人，一個贏得了名，一個贏得了利。

贏得了名的是Harry Markowitz，他在芝加哥大學正為其博文論文煩惱時，讀了Williams的論文，且一下子就發現了Williams理論的漏洞：Williams在論證時假設不同資產之間的風險沒有關聯，而實際上是有關聯的。於是Markowitz使用了統計學中的variance作為衡量風險分散度的標準，並利用mean-variance模型分析得出通過投資組合可以有效降低風險的結論。1952年，Markowitz將此成果以Portfolio Selection為論文題目正式表達，把分散投資推上了諾貝爾經濟學奬的層次。

有了諾貝爾獎的加持，可以宣佈分散投資完勝集中投資了吧。且慢！還有一個主角未登場呢。那個籠統地接受了Williams理論的不完美而贏得了利的猛人，就是巴菲特。在Markowitz試圖精確地計算出風險時，巴菲特走了另一條路，去計算股票的內在價值。他曾說過，“內在價值的定義很簡單，它是一家企業在其餘下的壽命中可以產生的現金流量的貼現值。”這句話，其實就是引用了Williams發表Dividend Discount Model時關於價值的定義，“如今任何股票、債券或公司的價值，取決於在資產的整個剩餘使用壽命期間預期能夠產生的、以適當的利率貼現的現金流入和流出。 ”

內在價值是怎樣計算的？巴菲特沒有示範過，也許根本就不存在一個可以準確計算的算法，但那並不重要，投資者只需要大概估算到價值和價格之間的護城河足夠寬就行了，確定了籃子足夠安全，當然就不需要太多籃子了。在實戰之中，巴菲特這種集中投資法大放異彩，使得Markowitz的分散投資法黯然失色。（Markowitz理論在實戰中不理想，其中一個原因是其模型建基於mean和variance兩個變數，也就是假設了股票的收益是按normal distribution分佈的，但實際上並不是，現實中，股票的收益的分佈比normal distribution的鐘型曲線更尖峰胖尾。）

集中投資在實戰中技術性擊倒分散投資，可以宣佈集中投資優勝了吧。且慢！先聽聽贏家巴菲特怎麼說。去年，巴菲特在致股東的信中說，若立遺囑，其名下90%的現金將讓托管人購買指數基金。指數基金是什麼概念？就算是巴菲特經常提及的S&P500指數基金，也包含了500只股票，那算是集中投資還是分散投資？

可見，巴菲特雖是以集中投資取得巨大成功，但他並沒有否定分散投資。因為，集中投資成功的大前提，是要像他一樣懂得找出股票的內在價值。否則，分散投資才是更安全的選擇。

日前，止凡兄在其blog介紹林森池大師的投資十誡，其中一誡，是不要過份分散投資。“這個世界‘千里馬’不多。過份分散投資，會拖低你的投資回報，好的‘千里馬’可能3、5只已經足夠。”

林大師是能夠洞悉股票內在價值的大師級人物，他這樣說當然是對的，也是理所當然的。不過，普羅股民選股有如盲公竹亂咁篤，真的可以用集中投資這一招嗎？想像一下，如果泰臣教人打交，理所當然會這樣說，“集中力量，打3、5拳就夠了，不用多。”普通人照做的話，後果如何，不難想像。

謀天下 VS 做世界

整理完病態賭徒劉備，打開電視，正在播“楚漢”，頓時心思思、手痕痕，既然寫了劉備，沒理由不寫寫劉邦。這兩個中年起家的劉姓大叔，都是一次又一次賭身家、賭性命，最終都贏得一番成就，活生生地演繹了“有賭未為輸”的勵志故事。

有借冇還的劉備，其無賴品性，多少有些遺傳，如果說他是個小無賴，他的先祖劉邦就是個大無賴。劉邦之無賴，史書是有記載的，連其父劉太公都曾直斥他無賴。更甚者，劉邦既愛財也好酒更好色，司馬遷就曾直書他“好酒及色”。歷史學家蔡東藩對劉邦的好色本性也有一句非常到肉的評述，“父可忘，妻可棄，兄弟家族可不顧，將帥士卒可不計，而肉欲獨不可不償。”

劉備以一招借荊州，得以擠身當時天下三大股東之一；而無賴淫蟲劉邦，竟然能成為秦朝之後的天下單一大股東，還使其子孫後代維持持股四百年，他的成功又有什麼獨門絕技？溯本尋源，劉邦一生做得最對的決定，當是立信關中。

劉邦初進關中時，不殺子嬰，約法三章，退出王宮，還軍灞上，面對秦皇宮的財寶和美女，他選擇了“持股”關中，而不是“套現”來滿足強烈的財色之欲。對於他這樣一個酒色財氣齊全之徒，實在是一個不容易的決定。范增就曾以此提醒項羽，劉邦此舉不簡單，是志在天下。

一條神奇的加減數，驗證了劉邦這個決定回報驚人：

沛公劉邦進入咸陽時，手下大約有10萬人馬；項羽收降章邯後率40萬聯軍入關；鴻門宴後，項羽分封諸侯，收編了劉邦的兵馬，只撥給他3萬士兵入漢中；劉邦暗渡陳倉重佔關中後，號召56萬各路諸侯兵攻陷彭城，然被項羽回兵殲滅10萬多人，再被項羽追殺趕下睢水淹死10萬多人。接著進入楚漢拉鋸戰，在往後的四次大規模的對決中，都是劉敗項勝，其中滎陽之戰劉邦更是慘敗到只帶著數十騎逃走。然而，在最後一次大規模對決垓下之戰，屢戰屢敗的劉邦手下竟然有60多萬人，不敗戰神項羽手下卻只剩10萬人。這是怎麼回事？

謎底正是劉邦的重倉股關中，是一家會源源不絕產生現金流的好公司，只需CEO蕭何稍稍張羅一下，兵馬糧秣，打不完吃不光。時間一長，效果越見明顯。這就是巴菲特所說的，“假如你持有優秀企業，時間就是好朋友。”

簡化為今天的投資述語，就是以3萬元起家的劉邦，成功重新持股關中之後，連連投資失利，輸得一次比一次慘重，但他卻越輸本錢越多，他的對手項羽則連連投資得手，卻越贏本錢越少。這不是很神奇嗎？

劉邦和項羽兩人都以奪天下為目標，項陣營並不是沒有謀天下的見識。“楚漢”裡就有一句很精警的對白，在收降章邯20萬秦軍後，范增勸項羽善待他們，“你的胸襟能容得下多少人，就有多少人能容得下你，你想得天下，而天下正是由這些人組成的。”

但這並不是項羽的style。項羽的投資style是，所得到的資產，全部套現，只要現成的財貨，無視人和地這兩樣最重要的生產資料，與其容納他們，不如做佢地世界，屠城焚地才符合他style。史書所載，項羽領兵所到之處，“城無遺類，皆坑之，諸所過無不殘滅。”所以，對20萬降卒，他的決定是“擸架生，做佢地世界”，一個不留；入關之後，再延續其style，焚宮室，屠咸陽，只把財貨搬回彭城。

楚漢戰爭的啟示，什麼投資品最值得投資？不言而喻了。

病態賭徒劉備教了我們什麼？

無論是《三國志》還是《三國演義》，都沒有吝嗇筆墨去刻畫劉備的“賭性”：不放任何可以一搏的機會，更好以小搏大。

劉備確實具有很多病態賭徒的特征：不安於現狀，一有機會就賭；越賭越輸，越輸越賭；越賭越大，賭到妻離子散、家破人亡都不收手；窮盡一切方法籌集賭本，乞討、詐騙、強搶，無所不用其極；最典型的是，對借到手的資本，無論如何都賴死不還。

根據《三國志·先主傳》，劉備是漢朝宗室，在劉家天下裡好歹也算是blue blood，雖以織席販履為業，也够得上是個小資本家，日子還過得挺滋潤。據記載，劉備年輕時“不喜歡讀書，只喜歡穿華美服飾，成天嬉犬游馬、酣歌醉曲為樂。”在亂世中能過上這種小資生活的有幾人？

但是，劉備偏不願過安逸生活，而去追求高風險刺激，耍刀子弄劍的賭一把，哪怕是拙於此道。《先主傳》裴松之注引《魏書》趙戩言：“劉備拙於用兵，每戰必敗。”《三國志٠吳書٠陸遜傳》也稱其“多敗少成”。

逢賭必敗的劉備，每次賭輸了，要麼寄人籬下，先後在公孫瓚、袁紹、曹操那兒蹭飯吃；要麼給人家當“看更”，陶謙、劉表都挺器重他這個門衛。但他每每張羅到一點兒資本，馬上又拿去賭。

多敗少成的劉備最後還是賭贏了一片地盤，關鍵在那裡？說明了什麼？池裡漁看來，劉備征戰半生最關鍵也是做得最漂亮的一件事，就是“借荊州”。有了荊州，他才擁有人才、兵馬、錢糧等源源不斷的博奕賭本，讓他賭來西川和漢中。最美的是，他“借”來的巨大資本，不但不需要還利息，更不需要還本金。

不需要還息還本而又能產生收益的借貸，在現實之中有沒有此等美事？有！讓我們看看前文提到過的大賭徒巴菲特，巴郡公司為什麼那麼賺錢卻從來不給股東派息？巴菲特為什麼那麼喜歡搞保險公司？答案就是，巴菲特深諳“借荊州”之妙呀！

保險公司之所以吸引人，在於客戶預付的保費，即浮存金（float），公司取得這筆資金的成本近乎零，相當於借用了投保客戶的錢而不用還本金；而巴郡從來不給股東派息，當巴菲特調兵作投資收購時，又相當於借用股東的錢而不需要還利息。

意想不到吧，相隔1800年，病態賭徒劉備與大賭徒巴菲特的思路居然殊途同歸。可見，“借荊州”是多麼重要的賭門心法呀！

（此文從“舊居”搬來，原文發表於2014年1月17日）

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補充於2015年9月22日：

大概兩三年前，聽一位左派學校的校長說，現在基本上沒有學生願意選修中史科，真想停掉這一科算了。OMG，什麼叫數典忘宗，這應該也算吧。

但再細想一下，也許這位校長說得沒錯，在學校，學生能透過歷史科學到什麼呢？須知道，歷史教科書編輯的工作，其實跟財演並沒有兩樣。

首先，歷史教科書編輯和財演都是“馬後炮型”，看著表象找原因。財演看到大市升幾點就可以馬上解釋為超賣反彈，跌幾點就是獲利回吐；歷史書裡寫到開國之君必然是英明神武，寫到亡國之君必然是昏庸無道。結果，很多有用的市場訊息都淹没在臭不可聞的口水之中，很多有血有肉的歷史故事都煙沒在輕描淡寫的套路之中。

其次，歷史教科書編輯和財演都是“化粧師型”，有特定的服務對象。有的財演為某些特定的財團服務，有的歷史教科書編輯為某些特定的政治團體服務。財演介紹的股票很多都是包了一層糖衣，歷史書描寫的故事很多都是經過別有用心的包裝粉飾。

真正有價值的投資需要剖開糖衣去探求，真正有思想的古人智慧也需要撕掉包裝去尋找。

賭波的最優化投注系統

接上文，嘗試把Kelly criterion應用到simultaneous events，即多個獨立賽局同時進行的情況。這種情形較多出現在球賽，一個聯賽20支球隊，一起踢一輪就有10場球賽同時進行。

賭波的人常常有這樣的疑問：明明自已的命中率很高，怎麼賭來賭去資本就是沒增長？這就得從注碼配置方面去檢討了，懂得把注碼作最優化分配的人真的不多。

還是從簡單的例子說起，假設有同時進行的兩場球賽A和B，“入球大小”的期望賠率（expected odds）和真實賠率（real odds）分別是：

　　期望賠率　　　真實賠率

　　大　　小　　　大　　小

A　2.04　1.961　　2.55　1.45

B　2.20　1.833　　1.72　2.00

根據expected odds < real odds的下注原則，A應該押注大，B應該押注小，但押注多少才合理呢？很多人會先把本金平分兩份，再按Kelly criterion的原始公式f = (p*o-1)/(o-1)來分別計算，得出：

A　0.5*(2.55/2.04-1)/(2.55-1) = 8%

B　0.5*(2/1.83-1)/(2-1) = 4.6%

於是投入本金的12.6%，其中8%在A，4.6%在B。如果中A不中B，將獲利7.8%；如果不中A中B，將虧損3.4%；如果A和B全中，將獲利17%。

表面看起來沒錯，不過這是個笨方法。很明顯的一個漏洞：既然存在expected odds(A) < real odds(A)，expected odds(B) < real odds(B)，那理所當然的結果是，expected odds(A*B) < real odds(A*B)，沒有理由不把注碼押一個“二串一”，即A*B。

所以，整個賭局應該把中A不中B、不中A中B和A*B全中的機會率作整體的考慮，新的p就是：1/2.04*(1-1/1.833)+1/1.833*(1-1/2.04)+1/2.04*1/1.833 = 0.7683；把real odds代入同樣的算式再取倒數，就是新的o = 1.4366倍。這個賭局應投入的本金比例就是(0.7683*1.4366-1)/(1.4366-1)=23.8%

把23.8%本金按比例投在A、B和A*B，如果中A不中B，將獲利13.7%；如果不中A中B，將虧損8.6%；如果A和B全中，利潤將是驚人的36.5%。比平分本金下注的方法回報率要高一倍有多。自稱命中高的，應能感受到這個投注系統的強大威力。

使用這個投注系統的一大難處是，每增加一場球賽，需要計算的注數就呈級數增加，3場球賽要算7注；4場球賽要算15注；5場球賽要算31注；6場球賽要算63注……

當然，用VBA來處理的話這也不算什麼高難度。

（此文從“舊居”搬來，原文發表於2014年1月13日）

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補充於2015年9月20日：

這是一個中看不中用的投注系統。目前看來最大的作用似乎只在於練習概率計算和programming技巧，以及加深對Kelly criterion的印象。在實戰之中，這個系統不太好用。

並不是說計算的方法不對，有些事件就是明明做對了也不見得有效果，這是人生的無奈。這個投注系統使用起來主要有兩大難度：

一是計算量巨大，每增加一個選項（例如變成主客和）或每增加一場球賽，需要計算的注數就呈幾何級數增長，就算program搞得掂，電腦的CPU都頂唔順。

二是需要下注的注數太多，幾場波就要買幾十注，很多還是次序很容易搞亂的三串一或四串一過關，看得眼花繚亂，撳掣撳到手軟都完成不了一張投注單。而且，其間馬會的賠率一變，又要推倒重做，而偏偏這又是很常見的事。

不過，也只有把這個系統完成了，才算得上對謀與斷之論（見“無謀小敗　無斷大敗”一文）有一個完整的交代。現在，股、馬、波，都可以把最容易鑄成大錯的“斷”的問題扔給電腦了，甚至連“謀”的部份也可以讓電腦來代勞。

不是說電腦比人腦聰明，但說到大數據的記存、計算和處理，人腦無論如何是比不上電腦的。比如，一個馬迷刨馬經，最多能計算多少個致勝因素？在電腦啟動MLR模型，計算幾十個、上百個因素，都是輕而易舉。

至此，真的可以瀟灑的說一句：炒股唔睇市，賭馬唔睇馬，賭波唔睇波，該怎麼活就怎麼活。

賭馬的最優化投注系統

MLR模型是目前為止計算賽馬機會率最強的工具，Kelly criterion則是可讓資金增長最快的公式。如何令最強勁的內功和最厲害的招式有效結合，是建立一個最優化投注系統需要走完的“最後一哩路”。而短短的路程並不容易走。

重溫Kelly criterion（凱利公式）：f = (p*o-1)/(o-1)，在公式裡，f是要下注的賭本比例，p是取勝的機會率，o是賠率。

如果玩簡單的擲硬幣游戲，或者賭大小，沒有懸念，把取勝機會率和賠率數據代入這條公式，即迎刃而解。但現實中，問題要複雜得多，我們更多碰到的是這兩種情況：第一種，一場賽馬有14匹馬上陣，其中有些需要下注有些不需要下注；第二種，同一時間有10場甚至20場球賽開賽，同樣其中有些需要下注有些不需下注。

對於這兩種情況，整體賭本的投入比例和各項注碼應該如何分配？有書籍教導，應該用Kelly criterion投注賠率最有利的單項；也有網上的“專家”文章強調，無論什麼情況只賭單場不買過關。這些說法全是謬誤。

實際上，上述提到的是兩種截然不同的情況，第一種是mutually exclusive outcomes of a single event，即單個事件中賽果相斥情況；第二種是simultaneous events，即多個獨立事件同時進行。想不到好的翻譯，搞得很囉唆，在這裡且稱為“單場情況”和“多場情況”吧。

從簡單的說起，考慮單場中只有3個投注選項的情況，就當作一場只有3匹馬參賽的賽馬或直接賭球賽的“主客和”吧。舉例，假如算出球賽“主”“和”“客”的機率為0.592、0.285和0.123，即expected odds分別為1.69、3.51和8.12倍，而真實賠率為1.87、3.4及3.4倍。如果只投注賠率最有利的單項，那麼只會投注“主”，投入本金比例為(0.592*1.87-1)/(1.87-1)=12.2%。

再考慮同時投注“主”及“和”的情況，透過Dutching calculator的計算，同時投注“主”（1.87倍）及“和”（3.4倍），回報為1.2065倍，而“主”及“和”兩個選項覆蓋了0.592+0.285=0.877的機會率，故最佳投注比例為(0.877*1.2065-1)/(1.2065-1)=28%。

所以這個賭局應該投入的賭本比例不是12.2%，而是28%，再按各選項的機會率和賠率差距比例配置注碼。這個結果也顛覆了之前的觀念，原來，部份機會率乘以賠率小於1（即expected odds > real odds）的情況也要下注。與只投單個選項相比，如果開出“主”，保證利潤不會減少，就算開出“和”，也不會全軍覆沒。把回報和風險作了最優化的平衡。

這僅僅是單場中只有3個投注選項的簡單情況，計算起來已經複雜得令沒有數學根底的人不容易明白。回到現實的情況，一場賽馬有多至14匹馬上陣，應該下注多少匹馬？押注每匹馬的比例怎樣算？太複雜了，要完全解釋清楚，非得把微積分搬出來不可，計算起來的複雜程度也已超出了人力範圍，只能編個程序讓CPU幫忙算了。

（此文從“舊居”搬來，原文發表於2014年1 月11日。）

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補充於2015年9月19日：

Kelly criterion在投資或投注中的作用已無容置疑，玩轉拉斯維加斯的Edward Thorp，和把香港馬場當作提款機的William Benter，都不諱言是按Kelly criterion分配注碼的；巴菲特雖然沒有親口說自己使用Kelly criterion，但在年輕時已與其相交的Edward Thorp曾經透露，股神正是用這種思維方式來投資。

在香港，從公開的投資、賭馬和賭波討論中可見，Kelly criterion並不普及，也不流行，甚至持Kelly criterion無用論者亦不在少數。其中的原因並不難理解，對普羅大眾來說，要把Kelly criterion運用於常見的賭局中，實在太困難了。

如果每一個賭局都如賭波的“入球大細”一樣只有兩個選項，那當然好辦，直接代入公式就行了。問題是我們身邊常見的賭局大多數都要複雜得多，例如一場14隻馬，根本不可能靠撳計數機來解決問題。涉及到Simultaneous Kelly，撳爛部計數機都冇用，還是需要一定的數學和programming知識才應付得來。

這樣的差距，使得賭馬等賭局的參與者從一開始就處於不同的起跑線上，形成大鱷食細鱷，細鱷食水魚的追殺勢態，也就是贏者長贏，輸者長輸。

唔想做水魚，就一定要upgrade自己！