2015年9月28日 星期一

分散投資 OR 一注獨贏?

分散投資的概念,源於雞蛋不應放在一個籃子裡的古老風險管理意識。反對者會說,如果籃子的安全系數夠高,放在一個籃子裡又何妨,而且增加一個籃子就是增加一分成本,籃子可比雞蛋貴。這個爭拗已經延續了好多年,看來還會延續下去。



1935年,英國經濟學家John Hicks發表了一篇論文,提出分散投資的思想,他認為,當投資很分散時,可以將風險降至很低,但分散程度越高,成本也越高。這是個相當於“阿媽係女人”的發現,不過他是第一個正式寫進論文裡的,之後凡是談論分散投資的,都不得不寫他一筆,真係吹佢唔漲。但Hicks未有對資產的選擇和投資比例進行深入研究,所以寫了一筆之後,就沒有第二筆值得寫了。

1938年,一位名叫John Burr Williams的哈佛研究生出版了The Theory of Investment Value一書,這也是他的博士論文。論文中他提出了Dividend Discount Model,這是首個使用股息進行現金流估值的理論,他認為通過投資於足夠多的股票,就可以消除風險,並假設總存在一個滿足收益最大化和風險最小化的組合。他的Model和理論後來引起了兩位猛人的注意,其中一人嚴格地挑剔了這個理論的不完美,另一人則籠統地接受了這個理論的不完美。結果,這兩個踩在Williams肩膊上的猛人,一個贏得了名,一個贏得了利。

贏得了名的是Harry Markowitz,他在芝加哥大學正為其博文論文煩惱時,讀了Williams的論文,且一下子就發現了Williams理論的漏洞:Williams在論證時假設不同資產之間的風險沒有關聯,而實際上是有關聯的。於是Markowitz使用了統計學中的variance作為衡量風險分散度的標準,並利用mean-variance模型分析得出通過投資組合可以有效降低風險的結論。1952年,Markowitz將此成果以Portfolio Selection為論文題目正式表達,把分散投資推上了諾貝爾經濟學奬的層次。

有了諾貝爾獎的加持,可以宣佈分散投資完勝集中投資了吧。且慢!還有一個主角未登場呢。那個籠統地接受了Williams理論的不完美而贏得了利的猛人,就是巴菲特。在Markowitz試圖精確地計算出風險時,巴菲特走了另一條路,去計算股票的內在價值。他曾說過,“內在價值的定義很簡單,它是一家企業在其餘下的壽命中可以產生的現金流量的貼現值。”這句話,其實就是引用了Williams發表Dividend Discount Model時關於價值的定義,“如今任何股票、債券或公司的價值,取決於在資產的整個剩餘使用壽命期間預期能夠產生的、以適當的利率貼現的現金流入和流出。 ”

內在價值是怎樣計算的?巴菲特沒有示範過,也許根本就不存在一個可以準確計算的算法,但那並不重要,投資者只需要大概估算到價值和價格之間的護城河足夠寬就行了,確定了籃子足夠安全,當然就不需要太多籃子了。在實戰之中,巴菲特這種集中投資法大放異彩,使得Markowitz的分散投資法黯然失色。(Markowitz理論在實戰中不理想,其中一個原因是其模型建基於mean和variance兩個變數,也就是假設了股票的收益是按normal distribution分佈的,但實際上並不是,現實中,股票的收益的分佈比normal distribution的鐘型曲線更尖峰胖尾。)

集中投資在實戰中技術性擊倒分散投資,可以宣佈集中投資優勝了吧。且慢!先聽聽贏家巴菲特怎麼說。去年,巴菲特在致股東的信中說,若立遺囑,其名下90%的現金將讓托管人購買指數基金。指數基金是什麼概念?就算是巴菲特經常提及的S&P500指數基金,也包含了500只股票,那算是集中投資還是分散投資?

可見,巴菲特雖是以集中投資取得巨大成功,但他並沒有否定分散投資。因為,集中投資成功的大前提,是要像他一樣懂得找出股票的內在價值。否則,分散投資才是更安全的選擇。

日前,止凡兄在其blog介紹林森池大師的投資十誡,其中一誡,是不要過份分散投資。“這個世界‘千里馬’不多。過份分散投資,會拖低你的投資回報,好的‘千里馬’可能3、5只已經足夠。”

林大師是能夠洞悉股票內在價值的大師級人物,他這樣說當然是對的,也是理所當然的。不過,普羅股民選股有如盲公竹亂咁篤,真的可以用集中投資這一招嗎?想像一下,如果泰臣教人打交,理所當然會這樣說,“集中力量,打3、5拳就夠了,不用多。”普通人照做的話,後果如何,不難想像。

2015年9月25日 星期五

謀天下 VS 做世界

整理完病態賭徒劉備,打開電視,正在播“楚漢”,頓時心思思、手痕痕,既然寫了劉備,沒理由不寫寫劉邦。這兩個中年起家的劉姓大叔,都是一次又一次賭身家、賭性命,最終都贏得一番成就,活生生地演繹了“有賭未為輸”的勵志故事。

有借冇還的劉備,其無賴品性,多少有些遺傳,如果說他是個小無賴,他的先祖劉邦就是個大無賴。劉邦之無賴,史書是有記載的,連其父劉太公都曾直斥他無賴。更甚者,劉邦既愛財也好酒更好色,司馬遷就曾直書他“好酒及色”。歷史學家蔡東藩對劉邦的好色本性也有一句非常到肉的評述,“父可忘,妻可棄,兄弟家族可不顧,將帥士卒可不計,而肉欲獨不可不償。”

劉備以一招借荊州,得以擠身當時天下三大股東之一;而無賴淫蟲劉邦,竟然能成為秦朝之後的天下單一大股東,還使其子孫後代維持持股四百年,他的成功又有什麼獨門絕技?溯本尋源,劉邦一生做得最對的決定,當是立信關中。


劉邦初進關中時,不殺子嬰,約法三章,退出王宮,還軍灞上,面對秦皇宮的財寶和美女,他選擇了“持股”關中,而不是“套現”來滿足強烈的財色之欲。對於他這樣一個酒色財氣齊全之徒,實在是一個不容易的決定。范增就曾以此提醒項羽,劉邦此舉不簡單,是志在天下。

一條神奇的加減數,驗證了劉邦這個決定回報驚人:

沛公劉邦進入咸陽時,手下大約有10萬人馬;項羽收降章邯後率40萬聯軍入關;鴻門宴後,項羽分封諸侯,收編了劉邦的兵馬,只撥給他3萬士兵入漢中;劉邦暗渡陳倉重佔關中後,號召56萬各路諸侯兵攻陷彭城,然被項羽回兵殲滅10萬多人,再被項羽追殺趕下睢水淹死10萬多人。接著進入楚漢拉鋸戰,在往後的四次大規模的對決中,都是劉敗項勝,其中滎陽之戰劉邦更是慘敗到只帶著數十騎逃走。然而,在最後一次大規模對決垓下之戰,屢戰屢敗的劉邦手下竟然有60多萬人,不敗戰神項羽手下卻只剩10萬人。這是怎麼回事?

謎底正是劉邦的重倉股關中,是一家會源源不絕產生現金流的好公司,只需CEO蕭何稍稍張羅一下,兵馬糧秣,打不完吃不光。時間一長,效果越見明顯。這就是巴菲特所說的,“假如你持有優秀企業,時間就是好朋友。”

簡化為今天的投資述語,就是以3萬元起家的劉邦,成功重新持股關中之後,連連投資失利,輸得一次比一次慘重,但他卻越輸本錢越多,他的對手項羽則連連投資得手,卻越贏本錢越少。這不是很神奇嗎?

劉邦和項羽兩人都以奪天下為目標,項陣營並不是沒有謀天下的見識。“楚漢”裡就有一句很精警的對白,在收降章邯20萬秦軍後,范增勸項羽善待他們,“你的胸襟能容得下多少人,就有多少人能容得下你,你想得天下,而天下正是由這些人組成的。”

但這並不是項羽的style。項羽的投資style是,所得到的資產,全部套現,只要現成的財貨,無視人和地這兩樣最重要的生產資料,與其容納他們,不如做佢地世界,屠城焚地才符合他style。史書所載,項羽領兵所到之處,“城無遺類,皆坑之,諸所過無不殘滅。”所以,對20萬降卒,他的決定是“擸架生,做佢地世界”,一個不留;入關之後,再延續其style,焚宮室,屠咸陽,只把財貨搬回彭城。

楚漢戰爭的啟示,什麼投資品最值得投資?不言而喻了。

2015年9月22日 星期二

病態賭徒劉備教了我們什麼?


無論是《三國志》還是《三國演義》,都沒有吝嗇筆墨去刻畫劉備的“賭性”:不放任何可以一搏的機會,更好以小搏大。

劉備確實具有很多病態賭徒的特征:不安於現狀,一有機會就賭;越賭越輸,越輸越賭;越賭越大,賭到妻離子散、家破人亡都不收手;窮盡一切方法籌集賭本,乞討、詐騙、強搶,無所不用其極;最典型的是,對借到手的資本,無論如何都賴死不還。

根據《三國志·先主傳》,劉備是漢朝宗室,在劉家天下裡好歹也算是blue blood,雖以織席販履為業,也够得上是個小資本家,日子還過得挺滋潤。據記載,劉備年輕時“不喜歡讀書,只喜歡穿華美服飾,成天嬉犬游馬、酣歌醉曲為樂。”在亂世中能過上這種小資生活的有幾人?

但是,劉備偏不願過安逸生活,而去追求高風險刺激,耍刀子弄劍的賭一把,哪怕是拙於此道。《先主傳》裴松之注引《魏書》趙戩言:“劉備拙於用兵,每戰必敗。”《三國志٠吳書٠陸遜傳》也稱其“多敗少成”。

逢賭必敗的劉備,每次賭輸了,要麼寄人籬下,先後在公孫瓚、袁紹、曹操那兒蹭飯吃;要麼給人家當“看更”,陶謙、劉表都挺器重他這個門衛。但他每每張羅到一點兒資本,馬上又拿去賭。

多敗少成的劉備最後還是賭贏了一片地盤,關鍵在那裡?說明了什麼?池裡漁看來,劉備征戰半生最關鍵也是做得最漂亮的一件事,就是“借荊州”。有了荊州,他才擁有人才、兵馬、錢糧等源源不斷的博奕賭本,讓他賭來西川和漢中。最美的是,他“借”來的巨大資本,不但不需要還利息,更不需要還本金。

不需要還息還本而又能產生收益的借貸,在現實之中有沒有此等美事?有!讓我們看看前文提到過的大賭徒巴菲特,巴郡公司為什麼那麼賺錢卻從來不給股東派息?巴菲特為什麼那麼喜歡搞保險公司?答案就是,巴菲特深諳“借荊州”之妙呀!

保險公司之所以吸引人,在於客戶預付的保費,即浮存金(float),公司取得這筆資金的成本近乎零,相當於借用了投保客戶的錢而不用還本金;而巴郡從來不給股東派息,當巴菲特調兵作投資收購時,又相當於借用股東的錢而不需要還利息。

意想不到吧,相隔1800年,病態賭徒劉備與大賭徒巴菲特的思路居然殊途同歸。可見,“借荊州”是多麼重要的賭門心法呀!

(此文從“舊居”搬來,原文發表於2014年1月17日

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補充於2015922

大概兩三年前,聽一位左派學校的校長說,現在基本上沒有學生願意選修中史科,真想停掉這一科算了。OMG,什麼叫數典忘宗,這應該也算吧。

但再細想一下,也許這位校長說得沒錯,在學校,學生能透過歷史科學到什麼呢?須知道,歷史教科書編輯的工作,其實跟財演並沒有兩樣。

首先,歷史教科書編輯和財演都是“馬後炮型”,看著表象找原因。財演看到大市升幾點就可以馬上解釋為超賣反彈,跌幾點就是獲利回吐;歷史書裡寫到開國之君必然是英明神武,寫到亡國之君必然是昏庸無道。結果,很多有用的市場訊息都淹没在臭不可聞的口水之中,很多有血有肉的歷史故事都煙沒在輕描淡寫的套路之中。

其次,歷史教科書編輯和財演都是“化粧師型”,有特定的服務對象。有的財演為某些特定的財團服務,有的歷史教科書編輯為某些特定的政治團體服務。財演介紹的股票很多都是包了一層糖衣,歷史書描寫的故事很多都是經過別有用心的包裝粉飾。

真正有價值的投資需要剖開糖衣去探求,真正有思想的古人智慧也需要撕掉包裝去尋找。

2015年9月20日 星期日

賭波的最優化投注系統

接上文,嘗試把Kelly criterion應用到simultaneous events,即多個獨立賽局同時進行的情況。這種情形較多出現在球賽,一個聯賽20支球隊,一起踢一輪就有10場球賽同時進行。

賭波的人常常有這樣的疑問:明明自已的命中率很高,怎麼賭來賭去資本就是沒增長?這就得從注碼配置方面去檢討了,懂得把注碼作最優化分配的人真的不多。

還是從簡單的例子說起,假設有同時進行的兩場球賽AB入球大小的期望賠率(expected odds)和真實賠率(real odds)分別是:

  期望賠率   真實賠率

  大  小   大  小

A 2.04 1.961  2.55 1.45

B 2.20 1.833  1.72 2.00

根據expected odds < real odds的下注原則,A應該押注大,B應該押注小,但押注多少才合理呢?很多人會先把本金平分兩份,再按Kelly criterion的原始公式f = (p*o-1)/(o-1)來分別計算,得出:

A 0.5*(2.55/2.04-1)/(2.55-1) = 8%

B 0.5*(2/1.83-1)/(2-1) = 4.6%

於是投入本金的12.6%,其中8%A4.6%B。如果中A不中B,將獲利7.8%;如果不中AB,將虧損3.4%;如果AB全中,將獲利17%

表面看起來沒錯,不過這是個笨方法。很明顯的一個漏洞:既然存在expected odds(A) < real odds(A)expected odds(B) < real odds(B),那理所當然的結果是,expected odds(A*B) < real odds(A*B),沒有理由不把注碼押一個二串一,即A*B

所以,整個賭局應該把中A不中B、不中ABA*B全中的機會率作整體的考慮,新的p就是:1/2.04*(1-1/1.833)+1/1.833*(1-1/2.04)+1/2.04*1/1.833 = 0.7683;把real odds代入同樣的算式再取倒數,就是新的o = 1.4366倍。這個賭局應投入的本金比例就是(0.7683*1.4366-1)/(1.4366-1)=23.8%


23.8%本金按比例投在ABA*B,如果中A不中B,將獲利13.7%;如果不中AB,將虧損8.6%;如果AB全中,利潤將是驚人的36.5%。比平分本金下注的方法回報率要高一倍有多。自稱命中高的,應能感受到這個投注系統的強大威力。

使用這個投注系統的一大難處是,每增加一場球賽,需要計算的注數就呈級數增加,3場球賽要算7注;4場球賽要算15注;5場球賽要算31注;6場球賽要算63……

當然,用VBA來處理的話這也不算什麼高難度。



(此文從“舊居”搬來,原文發表於2014年1月13日)

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補充於2015920日:

這是一個中看不中用的投注系統。目前看來最大的作用似乎只在於練習概率計算和programming技巧,以及加深對Kelly criterion的印象。在實戰之中,這個系統不太好用。

並不是說計算的方法不對,有些事件就是明明做對了也不見得有效果,這是人生的無奈。這個投注系統使用起來主要有兩大難度:

一是計算量巨大,每增加一個選項(例如變成主客和)或每增加一場球賽,需要計算的注數就呈幾何級數增長,就算program搞得掂,電腦的CPU都頂唔順。

二是需要下注的注數太多,幾場波就要買幾十注,很多還是次序很容易搞亂的三串一或四串一過關,看得眼花繚亂,撳掣撳到手軟都完成不了一張投注單。而且,其間馬會的賠率一變,又要推倒重做,而偏偏這又是很常見的事。

不過,也只有把這個系統完成了,才算得上對謀與斷之論(見“無謀小敗 無斷大敗”一文)有一個完整的交代。現在,股、馬、波,都可以把最容易鑄成大錯的“斷”的問題扔給電腦了,甚至連“謀”的部份也可以讓電腦來代勞。

不是說電腦比人腦聰明,但說到大數據的記存、計算和處理,人腦無論如何是比不上電腦的。比如,一個馬迷刨馬經,最多能計算多少個致勝因素?在電腦啟動MLR模型,計算幾十個、上百個因素,都是輕而易舉。

至此,真的可以瀟灑的說一句:炒股唔睇市,賭馬唔睇馬,賭波唔睇波,該怎麼活就怎麼活。

2015年9月19日 星期六

賭馬的最優化投注系統


MLR模型是目前為止計算賽馬機會率最強的工具,Kelly criterion則是可讓資金增長最快的公式。如何令最強勁的內功和最厲害的招式有效結合,是建立一個最優化投注系統需要走完的“最後一哩路”。而短短的路程並不容易走。

重溫Kelly criterion(凱利公式):f = (p*o-1)/(o-1),在公式裡,f是要下注的賭本比例,p是取勝的機會率,o是賠率。

如果玩簡單的擲硬幣游戲,或者賭大小,沒有懸念,把取勝機會率和賠率數據代入這條公式,即迎刃而解。但現實中,問題要複雜得多,我們更多碰到的是這兩種情況:第一種,一場賽馬有14匹馬上陣,其中有些需要下注有些不需要下注;第二種,同一時間有10場甚至20場球賽開賽,同樣其中有些需要下注有些不需下注。

對於這兩種情況,整體賭本的投入比例和各項注碼應該如何分配?有書籍教導,應該用Kelly criterion投注賠率最有利的單項;也有網上的“專家”文章強調,無論什麼情況只賭單場不買過關。這些說法全是謬誤。

實際上,上述提到的是兩種截然不同的情況,第一種是mutually exclusive outcomes of a single event,即單個事件中賽果相斥情況;第二種是simultaneous events,即多個獨立事件同時進行。想不到好的翻譯,搞得很囉唆,在這裡且稱為“單場情況”和“多場情況”吧。

從簡單的說起,考慮單場中只有3個投注選項的情況,就當作一場只有3匹馬參賽的賽馬或直接賭球賽的“主客和”吧。舉例,假如算出球賽“主”“和”“客”的機率為0.5920.2850.123,即expected odds分別為1.693.518.12倍,而真實賠率為1.873.43.4倍。如果只投注賠率最有利的單項,那麼只會投注“主”,投入本金比例為(0.592*1.87-1)/(1.87-1)=12.2%

再考慮同時投注“主”及“和”的情況,透過Dutching calculator的計算,同時投注“主”(1.87倍)及“和”(3.4倍),回報為1.2065倍,而“主”及“和”兩個選項覆蓋了0.592+0.285=0.877的機會率,故最佳投注比例為(0.877*1.2065-1)/(1.2065-1)=28%


所以這個賭局應該投入的賭本比例不是12.2%,而是28%,再按各選項的機會率和賠率差距比例配置注碼。這個結果也顛覆了之前的觀念,原來,部份機會率乘以賠率小於1(即expected odds > real odds)的情況也要下注。與只投單個選項相比,如果開出“主”,保證利潤不會減少,就算開出“和”,也不會全軍覆沒。把回報和風險作了最優化的平衡。

這僅僅是單場中只有3個投注選項的簡單情況,計算起來已經複雜得令沒有數學根底的人不容易明白。回到現實的情況,一場賽馬有多至14匹馬上陣,應該下注多少匹馬?押注每匹馬的比例怎樣算?太複雜了,要完全解釋清楚,非得把微積分搬出來不可,計算起來的複雜程度也已超出了人力範圍,只能編個程序讓CPU幫忙算了。



(此文從“舊居”搬來,原文發表於20141 11日。)

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補充於2015年9月19日:

Kelly criterion在投資或投注中的作用已無容置疑,玩轉拉斯維加斯的Edward Thorp,和把香港馬場當作提款機的William Benter,都不諱言是按Kelly criterion分配注碼的;巴菲特雖然沒有親口說自己使用Kelly criterion,但在年輕時已與其相交的Edward Thorp曾經透露,股神正是用這種思維方式來投資。

在香港,從公開的投資、賭馬和賭波討論中可見,Kelly criterion並不普及,也不流行,甚至持Kelly criterion無用論者亦不在少數。其中的原因並不難理解,對普羅大眾來說,要把Kelly criterion運用於常見的賭局中,實在太困難了。

如果每一個賭局都如賭波的“入球大細”一樣只有兩個選項,那當然好辦,直接代入公式就行了。問題是我們身邊常見的賭局大多數都要複雜得多,例如一場14隻馬,根本不可能靠撳計數機來解決問題。涉及到Simultaneous Kelly,撳爛部計數機都冇用,還是需要一定的數學和programming知識才應付得來。

這樣的差距,使得賭馬等賭局的參與者從一開始就處於不同的起跑線上,形成大鱷食細鱷,細鱷食水魚的追殺勢態,也就是贏者長贏,輸者長輸。

唔想做水魚,就一定要upgrade自己!

2015年9月17日 星期四

強勁無匹的賭馬方程式

繼續搬家,此文從“舊居”搬來,原文發表於2014年1月8日:

馬迷研究賽馬博彩,“門派”甚多,數據派、晨操派、賽績論、狀態論、步速論,甚至陰謀論,各師各法,如華山論劍。然而,一個賽季或幾個賽季後檢驗各門派的成績,基本上會合流成一派──“馬後炮派”,各派理論用來解釋賽果都可以描畫得頭頭是道、天花亂墜,用來預測賽果,則是無能為力。

惟獨有一派,過去二十幾年每年都從香港賽馬彩池中獵取數以億元甚至十億元計的利潤。如果說賭馬有贏錢公式或贏錢方程式,那必然就是這一派如“九陰真經”般所向披靡的內功心法──MLR模型(multinomial logistic regression model)。

上世紀八十年代,William Benter、Alan Woods和Walter Simmons在香港合夥成立了一個賭馬集團,集團從1986至87賽季起大獲全勝,然後三人分家,各自分得一本“九陰真經”再戰江湖,很快各人都成了億萬富豪。

因為大嘴巴Alan Woods守不住秘密,江湖上有本“九陰真經”的消息很快就傳遍各門各派。於是,一個又一個苦練“九陰真經”的賭馬集團相繼出現,練成頂級心法的集團同樣每個賽季可賺走數億元。已經賺够的William Benter更是大方,到處演講公開其贏馬方程式,他十年前在香港演講的視頻現在在網上還能找到。

其實,就算他們不說,這個秘密也守不了多久,就在他們開始贏錢的同時,一篇在賭馬業內著名的論文就閃亮面世,那就是Ruth N Bolton和Randall G Chapman合著的“searching for positive returns at the track: a multinomial logit model”,有興趣看原汁原味的請到這裡:http://www.ruthnbolton.com/Publications/Track.pdf

前文談論Kelly criterion時曾強調,參與一賭局,主要看機會率和賠率兩個關鍵。賠率是公開的,應用入算式全無難度,難就難在機會率部份。要估算一匹馬准確的取勝機會率,比猜哪一匹馬能贏還難得多,這才是賭馬最核心的難題。

而MLR模型,正是直指核心的利器,一次過把全場所有上陣馬匹的取勝機會率算准,再以Kelly criterion進行最優化的注碼配置,“九陰真經”就是這樣練成的。

現在值得觀察的是,未來的華山論劍越來越參與者均以“九陰真經”交手,結果會怎樣?如果大家模型中有效變量都差不多,理論上計算結果也會趨於一致。

實際上,現在已經常出現這樣一個令人頭痛的情況:開跑前按最優化注碼配置重注的馬匹,總是瞬間賠率急跌。有時看到開跑前押注時有20倍的冷馬,開閘後變成4、5倍,真是暈得一陣陣!

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補充於2015年9月17日:

在原始落後的社會裡,武器的殺傷力差距不會太大,你持長矛,我拿弓箭,在不同的戰場環境中,互有勝負很常見。就如傳統的賽馬理論,晨操派、賽績派等等各有所長,可以誰也不服誰。

隨著MLR模型的殺入,戰場的形勢頓起變化,猶如熱兵器部隊殺進了冷兵器部落,長矛也好,弓箭也好,都難以與手持半自動步槍的熱兵器部隊抗衡,儘管初期的熱兵器並不太精良。據稱,William Benter等人最早期殺進香港馬場的MLR模型,相當簡單粗糙,只有16個有效參數,然而從1988年至1993年5年間,他們賭了2500場馬,資本竟大增了40倍,年複式回報超過100%。

與開放而透明度甚高的金融市場投資領域不一樣,賽馬投資領域的討論一直低調而神秘。每過一個時期,就會冒出一大堆關於金融市場投資的新方法、新知識、新技術和新理論,層出不窮;而這麼多年過去了,在賽馬投資領域,從寥寥可數的公開報道可看到,所有的成功例子,幾乎都離不開MLR模型,所謂的新進展,都只是這個模型的改良和優化,沒看到也沒聽說有更大殺傷力的新武器誕生,似乎至今仍是“華山一條路”,以致越來越多的賭馬集團擠在同一條路上厮殺,利潤也越來越分散。據說現在一些賭馬集團MLR模型獲取的有效參數,已多達130多個。另一個有趣之處是,幾乎所有的成功例子,都是在香港馬場取得的。

而另一邊廂,30年過去了,香港普羅馬迷日常所接觸到的賭馬知識和技術可謂沒有寸進,除了電視的轉播畫面清晰了一些,馬經版的印刷精美了一些,所用的方法和理論,還是30年前那一套。電視也好,電台也好,馬經也好,所謂的“專家”依然陶醉於鑽研以大刀木棒對抗機槍大炮,還將這種義和團精神大言不慚地稱之為“分析”,或自詡為“理論”。

賽馬投資的趨勢也日漸清晰了:仍然手持冷兵器的傳統“土著”,面對熱兵器團隊的強勢掠奪盤剝,基本上沒有翻身的機會,只能被撳住搶;而熱兵器團隊因大家計算結果的殊途同歸,利潤也逐漸被攤薄。“土著”們每每看著電算機的“綠格飛”或“啡格飛”馬匹勝出而欽羨不已,殊不知此時“搏殺得手”的熱兵器集團卻是啞子吃黃蓮──收益又被分薄了幾成。

昨晚的情況:



“榮光大道”計算時有41倍,跑完勝出只得27倍,利潤少了一大截。



“競駿高飛”計算時有17倍,跑完勝出剩14倍,已屬萬幸。

2015年9月15日 星期二

必贏的投資

此文從“舊居”搬來,原文發表於2014年1月6日:

2009年7月30日中午,香港最大的網上討論區的足球投注版有點不平靜,波友們隱晦地奔走相告某個“重大發現”。


登入馬會網站一看,呵,心照不宣。


馬會網站清楚標列:


主 客 和:小保加 對 AC米蘭 3.00 3.30 2.05


讓球主客和:小保加[+1]   對 AC米蘭[-1] 3.80 3.85 1.65


不用經大腦思考,馬上把帳戶所有錢全數買小保加[+1](主隊勝),3.8倍。


幾分鐘後,馬會網站更正讓球主客和變成:小保加[+1]   對 AC米蘭[-1] 1.65 3.85 3.8


已經無關重要了。施施然打開Dutching calculator,輸入3.8倍和2.05倍,根據計算結果,按35:65的比例從銀行帳戶調錢到馬會帳戶買主客和AC米蘭(客隊勝),2.05倍。




球賽結果,也無關重要了。不管比分如何,已保證能從這個賭局贏取33%的純利。


百分之一百一定贏的賭局,天下間就是有這樣的美事。


可惜的是,這種好事N年才一遇,不知等到何年何月才有下次機會。不過,這個事件也說明了一個事實:在零和游戲裡,賭徒的利潤就是別人的錯誤。


期待莊家不斷犯錯當然是不現實的,但不要緊,其他賭徒總是會犯錯的,他們天天犯錯,時時犯錯,分分秒秒都在犯錯,賭局中漁利的空間還是無處不在。


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補充於2015915

假設有這樣一個賭局:關公戰秦瓊,不設和局,分出勝負為止,關公取勝的賠率是1.9倍,秦瓊取勝的賠率是3倍。手上有100元,應該如何下注?

按照傳統的想法,若兩者取勝的機會率均為50%,那麼,投注關公的資金比例為:
f=(0.5*1.9-1)/(1.9-1)<0,即是不應下注買關公;

投注秦瓊的資金比例為:
f=(0.5*3-1)/(3-1)=25%,即是應該下注25元買秦瓊。

但這是錯的!!!

敏感的投資者一眼就能看出,只要將100元本金,分成60元買關公,40元買秦瓊,結果就是,關公贏是贏,秦瓊贏也是贏,冇得輸。

故此,在多於一個選項的賭局中,應優先考慮“全餐”的賠率是否大於1。在這個例子中,兩者全買的賠率是1/(1/1.9+1/3)=1.163倍;“全餐”贏的機會率當然就是1;於是得出:
f=(1*1.163-1)/(1.163-1)=100%;無需保留,All in

最先使用這種投資策略的人名為Dutch Schultz,是個美籍德裔猶太人,上世紀二三十年代活躍於紐約的黑幫分子,專門非法開賭。猶太人真是厲害,連做黑社會都做得非同凡響。不過出來行始終是要還的,Dutch Schultz1935年被槍殺,終年34歲。

Dutch的大名還是被流傳下來了,不是因為他的黑社會事蹟,而是因為他開創的這種投資策略,就被稱作DutchingDutch book。搞笑的是,內地的那些所謂學者,一看見Dutch這個字,就不由分說將之譯作“荷蘭”,現在Dutching最流行的中文稱謂,居然叫“荷蘭賭”。

可悲?可笑?無言。

2015年9月14日 星期一

如何讓資本飛快增長

以下文章從舊居搬過來,原文發表於201416

把球賽的各項賠率模擬出來了,兩個根本問題還是沒有回答:買什麼?買多少?買得太小,中了,空餘悔恨;買得太大,不中,血本無歸。有沒有兩全其美的辦法?

有!真的有...

那就是此前提及的Kelly criterion,很多人稱作凱利公式或凱利方程式。只要是賭徒,應該都聽過這條公式,小至我等默默無名的小賭徒,大至大名鼎鼎的股神股巴菲特大賭徒,無不是根據這條公式來調配注碼。

有人還特別寫了一本書,書名開門見山就叫fortune's formula(財富公式),輯錄了關於Kelly criterion的故事,精彩絕倫。包括Edward Thorp怎樣用這條公式玩二十一點,橫掃美國賭場,beat the dealer;以及怎樣同巴菲特玩橋牌發現股神用同樣的思維方式來投資;更提及William Benter1987起就用這條公式,在沙田和快活谷兩個馬場屠殺香港馬迷20幾年。

Kelly criterion誕生在很學術的場合,搞學術的可以到這裡研究:

我等小賭徒沒有搞學術研究的大志,只對怎樣應用感興趣。由於賭博項目的不一樣,不同地方的賠率格式也不一樣,凱利公式有很多個應用版本,比較切合香港馬會賠率格式的應該是這個版本:f = (p*o-1)/(o-1)

在公式裡,f是要下注的賭本比例,p是取勝的機會率,o是賠率。

舉例,有賭本1000元,球賽大小球賠率為1.851.85,如果開大的機會為六成,根據公式,(0.6*1.85-1)/(1.85-1)=13%,應下注130元大。

這樣,如果輸掉了,還有870元賭本,繼續作戰。在下一個賭局重複這樣的計算,理論上,即使一輸再輸,賭本也會長輸長有,避過清袋之災。相反,如果不斷勝出,一贏再贏,即能發揮複式增長效應,令本金飛快增長,遠勝平注押賭取得的收益。

從這條公式可見,機會率和賠率是兩個關鍵,要是機會率乘以賠率小於1,就要忍手不買,只有機會率乘以賠率大於1時才會下注,機會率越大,注碼也加大,除非有百分之一百的把握取勝,才會孤注一擲。

天下間有百分之一百一定贏的賭局嗎?

有!真的有...

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補充於2015914

猶豫了一下,是否應該將這篇文章刪到垃圾桶,此文跟“一條公式走天涯”並沒有本質上的差別,說的都是Kelly criterion

最後還是決定保留下來,原因有兩個:其一,兩篇文章所描述的是Kelly criterion的兩種不同形態,一條適用於衰極嘟有啲揸拿的股市,另一條適用於衰咗渣嘟冇得剩的零和遊戲。

其二,“無謀小敗 無斷大敗”一文說到,“斷”的重要性遠大於“謀”,而絕大多數人天生就不善斷。無疑,不論投資還是投注,Kelly criterion都是可以用作“斷”的極佳工具。即使是遇到無法精確計算的情況,代入以Kelly criterion的精神和原則去思考,也是大有禆益的。

2015年9月13日 星期日

簡單易用的賭波公式

繼續“搬家”,以下章從“舊居”搬過來,原文發表於2014年1月4日:

有朋友問,有沒有簡單可行的賭球公式,或者賭波方程式?

一般來說,參與一個獨立的賭局,實際上是要回答兩個問題:第一個是買什麼?第二個是買多少?要科學地把這兩個問題解決掉,方法是有的,但嚴格來說那不是一條算式或公式,而是一個有程序可依的系統。至於是不是簡單,則見仁見智;是不是可行,也要看對賭的對手是誰。

在這裡要把模擬或計算一場球賽的思路說得詳細一些,要搞清楚系統裡著重了些什麼、忽略了些什麼,使用時才會明了其長處和缺點,而不會錯用或濫用。

思考的出發點是“簡單可行”。球隊過去的戰績,最能反映球隊的能力。所以最直接的做法,就是把球隊過去的入球和失球數字用蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation)模擬一萬幾千次,看看結果如何。這個方法最簡單,但不是太可行,主要原因是球隊的原始數據不會很平滑,導致模擬出來的結果不甚合理。以1月6日凌晨3:45開賽的意甲榜首大戰祖雲達斯對羅馬為例,若用今個賽季的數據來仿真,會得出祖雲達斯贏4:0的機會比贏3:0還大,不合理。

於是,接著下來要思考的是使數據平滑化、預測結果合理化。我們處理數據時最常見的平滑曲綫莫過於正態分布(normal distribution),就是那條鐘型曲綫。算出球隊過去進球或失球數據的平均數和標准差,這樣每個球隊的“實力”都可以一條獨特的鐘型曲綫來代表了,平均數代表球隊的進球能力,標准差代表隊的表現穩定性,兩個球隊的曲綫一對比,就能看出誰強誰弱,甚至每個比分的機會率也能算出來。解釋起來也很科學很合理。

但用正態分布模型來仿真現實的球賽還是有一個致命缺點。理論上,鐘型曲綫是向兩邊無限延伸的,當左邊一端一直延伸穿過0,代表了什麼?代表了出現“負進球”的機率。負進球,實現中根本不可能。這個硬傷必須處理掉。

幸好,早在十九世紀,有個叫Siméon-Denis Poisson的法國數學家就幫我們解決了這個問題,他所發表的Poisson law of small numbers,現在一般稱為Poisson distribution,正好用作球賽模型。其原理就屬於學術範疇了,這裡不多說了,姑且簡單理解為一種經特殊處理的正態分布吧,我們知道怎樣應用就行了。

還是以祖雲達斯大戰羅馬為例。我們不知道最鋒利的矛對最堅硬的盾結果會怎樣,不要緊,以“簡單”為原則,取平均數吧。好了,取今個賽季祖雲達斯主場進球和羅馬客場失球取平均值,為1.75,就叫祖雲達斯的實力指數吧;祖雲達斯主場失球和羅馬客場進球取平均值,為1.1875,就是羅馬的實力指數。

在EXCEL可以直接使用POISSON函數功能,輕易算出祖雲達斯不進球、進一球、進兩球...的機會率是0.1738、0.3041、0.2661...;羅馬不進球、進一球、進兩球...的機會率是0.305、0.3622、0.215...等等。



於是這場球賽任何一個比分的機會率都能算出來了,0:0的機會率就是0.1738*0.305=0.053,其倒數就是預期賠率18.9倍;如此類推1:0的機會率就是0.3041*0.305=0.09275,其倒數就是預期賠率10.8倍...所有“波膽”的賠率都可以模擬出來。

把相關比分的機會率加起來,模擬出主客和、入球大細、總入球等等的賠率也沒有難度。當然,一個一個用小算盤來算工作量還是挺大的,最方便還是用VBA編好程序,讓CPU代勞,一勞永逸。

示範:

第一步:取祖雲達斯主場數據



第二步:取羅馬客場數據,RUN



 即得出各項模擬賠率



這個應該就是最簡單易用的“賭波公式”了,如果要跟鄰居、同事或波友對賭,這個系統已綽綽有餘了。不過,如果想在公開的彩池裡漁獵,這種程度的工具還遠遠不够,一定要再加強裝備,武裝到牙齒。

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補充於2015913

慶幸寫這篇文章時記下了過去的所謂“思路”,這個“思路”其實就是自己當時屢屢撞板的過程。對於同一個問題的思考,不斷修正、補充、更新,腦子裡的記憶就會像Hard Disk儲存資料一樣,只會留下最新的版本,把過去每一次的變化覆蓋掉。要還原變遷的歷程,就只能靠這些文字了。

重看過去苦苦尋找一個工具去模擬一場球賽賠率的過程,真是百般滋味在心頭。從Monte Carlo SimulationNormal distribution,再到Poisson distribution,迂回曲折,也不知當年的傻勁從何而來。

現在回顧這段歷程仍覺得可笑,拿這麼一個幼稚的工具去同莊家博殺,無異於以卵擊石,太過癡心妄想。然而,當實實在在撞過板碰過壁之後,卻有豁然開朗之感。意想不到的是,以此為藍本的一個投注系統,最後還真的嘗到了盈利的喜悅。

更意想不到的是,在多年後的今天,這個系統依然能保持盈利,儘管利潤並不多。利潤不多有各方面的原因,最根本的原因還是技不如人吧,還有一個很折磨人的原因,就是馬會的抽水率實在太高了。

人生的資本只是泥碼

終於把“舊居”清理掉,還好文章的數量不多,值得留下的更不多,重看過去一些不太成熟的想法,也挺有意思,不捨得扔掉的,搬過來就是了。

以下文章從“舊居”搬過來,原文發表於201413

賭博與投資的唯一區別就是形象問題。形象好的下注行為叫投資,形象不好的下注行為被稱為賭博。

點出賭博和投資沒有本質區別的人叫John Larry Kelly。前文提到的Kelly criterion──可以使特定賭局中資本長期增長率最大化的公式,就是Kelly1956年發表在《貝爾系統技術期刊》的傑作。Kelly原本將論文標題定為《信息論與賭博》,但公司高層因對形象與道德問題的顧慮,建議他把論文標題改成《對信息傳輸速率的重新詮釋》(A New Interpretation of Information Rate)才發表。

形象問題真是害人。

我們的父母輩和師長輩,大多數都是勤勞善良的老實人。自小他們就教導我們不要賭博,不要投機,求學時要認真念書,在職時要勤奮工作,累積人生的資本。他們也以身作則,勤勤懇懇上班,精打細算持家,以最保守、自以為最安全的方式投資理財,為家人的一個安樂窩而奮鬥。

結果,被地產霸權壓榨掉大半人生樂趣的是他們,跑去買雷曼債券的也是他們。

可怕的是,當我們這一輩逐漸為人父母、為人師長了,這種傳統依舊,連最難以啓齒的性教育都已經列入小學課程了,因要顧及形象和道德,賭、投機、風險,仍然是個禁忌,難登大雅之堂。

於是,一代接一代,少數的不顧形象的豺狼變成更精於捕獵的豺狼,大多數的要顧及形象的羔羊變成更馴良更聽天由命的羔羊,社會更分化,貧富更懸殊。

羔羊們進入社會才會發現,他們認真念書得到的學歷並不是找工作的保證,他們勤奮工作也不是飯碗的保證;他們才會發現自己存款增加的速度遠遠追不上安樂窩所需。當他們以為找到了加快資本累積的途徑時,那往往卻是個陷阱,成了豺狼的獵物。

他們這個時候才會發現,人生的資本只是泥碼,不經過一個博奕過程,無法兌現,能兌現多少,還要看博奕的結果;他們這個時候才會發現,升學、選科、轉工、置業,人生的每一個決定都是賭博,不能選擇不賭,不賭就是輸。

還好,我們還能選擇怎樣賭。

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補充於2015912

常言道,“十賭九輸”。實際的情況還真是這樣,年前一個針對賭博網站的頗大型的調查顯示,能在網上賭場取得盈利的賭徒,約有11%左右。

11%的成功率屬於高還是低?我們不妨比較一下這些數字:每年小學生考上Band 1頭中學的有百分之幾?每年能成功考到AO的畢業生有百分之幾?一家公司的Trainee最後能升上主任的有百分之幾?主任能升到經理的有百分之幾?

在人生的求學和工作生涯中,很多的成功機會率都遠低於10%,但我們的師長卻不斷鞭策我們要勤奮讀書努力工作,為這些微乎其微的成功率爭到頭崩額裂。而面對高達11%成功率的賭博,卻只有絕無討價還價餘地的一句:遠離賭博!

這是哪門子邏輯?

如果說賭有風險,人生的哪個選擇沒有風險?面對風險,最積極的做法是認識它、防備它、戰勝它。而不是逃避、逃避、再逃避。今日避開不談,明日避開不說,避無可避之日,就是自吞苦果之時。香港的金融市場、馬場,甚至現在中國A股市場,都成了外國人的提款機,是外國人特別聰明嗎?

《大秦帝國》所描述古代中國人的原生精神是“凡有血氣,皆有爭心”,中國近代所頌揚也是“亮劍精神”,然而,面對最直接的智力博奕,現今整個社會奉行的只有“鴕鳥精神”,何其滑稽哉!

2015年9月11日 星期五

無謀小敗 無斷大敗

謀與斷是兩種截然不同的思維,卻密不可分。謀斷相宜,相得益彰;有斷無謀,空中之樓;有謀無斷,反受其亂。

歷史上有房謀杜斷一詞,亦即房玄齡善謀、杜如晦善斷之說。說的是李世民的兩個幕僚,房玄齡善於謀划,杜如晦則善於拍板拿主意。房杜兩人是玄武門之變的主要策劃人,成功將李世民推上帝位。房杜兩人也李世民稱帝後開創貞觀之治的重要功臣,那是中國歷史上經濟社會發展得最好的時期之一。這是謀斷相宜的一個例子。

《三國演義》第十八回,記述了一段曹操與其謀士郭嘉的神問答。官渡之戰前,曹操的實力與謀士如雲、猛將如雨、坐擁四州、兵廣糧足的袁紹相比有很大差距,曹操問郭嘉“吾欲討之,恨力不及,如何?”,郭嘉拋出了長篇大論的十勝十敗之說,其中一個指袁紹必敗的理由是“紹多謀少決”。結果不幸言中,袁紹手下謀士眾多的奇謀妙策,都在袁紹時而猶豫不決時而輕率武斷之下錯過了,終以敗亡收場。這是有謀無斷的一個例子。

五胡十六國時代後趙開國君主石勒是唯一做過奴隸的皇帝,他不識字,不好謀,對於以陰謀奪天下的曹操、司馬懿父子甚為鄙視,《晉書·石勒載記》記載石勒這樣說:“大丈夫行事,當礌礌落落,如日月皎然,終不能如曹孟德、司馬仲達父子,欺他孤兒寡婦,狐媚以取天下也。”但石勒有著天生的敏銳判斷力,《世說新語·識鑒第七》記載:“石勒不知書,使人讀《漢書》。聞酈食其勸立六國後,刻印將授之,大驚曰:‘此法當失,云何得遂有天下?’至留侯諫,乃曰:‘賴有此耳!’”石勒是有斷無謀的典型,其下場是,成功奪得一隅地盤,但僅32年之後就被別人滅了。

這三個例子說明了,無謀有斷還不致於太差;有謀無斷,也就是沒做對決定的話,後果最大鑊。

孫皓暉的歷史巨著《大秦帝國》,對謀與斷有一段深刻的論述:范增向項梁指出,“善謀者寡斷”,因為“心無二用。善出奇謀者,多無實施之能也。善主實務者,多無奇謀才思也。”又說“善謀在才,善決在天”,原因是“決斷之能,既在洞察辨識,更在品性心志。性柔弱者無斷,此之謂也。是故,善決之雄才,既須天賦悟性,否則不能迅捷辨識紛紜之說。更須天賦堅剛,否則必為俗人眾議所動。”至於謀與斷何者重要,范增認為“謀之成敗,在斷不在謀。故,無謀小敗,無斷大敗。”

其意思是:人一心不能二用,善謀者多數不善斷,善斷者多數不善謀。善謀在於才能,善斷則是天生的,跟個人的品性心志有關。而謀的成功與否,在於斷而不在於謀。所以,謀划不當,衰咗只係細細鑊;決定不當,衰咗就會大大鑊。

引用於投資之上,謀就是分析,斷就是決定交易的時機和注碼。

可惜,鮮有人會注意到謀與斷是兩件不同的事情,大多數人都重謀而輕斷,或者以為斷就是謀的一部份。總是把冷靜分析得出的結果,交由發熱的大腦甚至腎上線素去拍板。衰咗,是必然;衰咗再從分析去找原因,更是枉然。

這個道理,巴菲特就看得很透徹,他曾多次以他的“打卡理論”告誡投資者:如果你的投資生涯有一張卡片,只能打20個洞,每投資一次就打一個洞,20次滿了投資生涯就結束了,相信你的投資業績會好很多。

這是非常聰明的做法,如果明知自己不是一個天生善斷的人,減少下決定的次數,就是減少犯錯的機會。

2015年9月8日 星期二

市場博奕基本法

Nassim Nicholas Taleb在其力作Fooled by randomness(被譯作《黑天鵝的世界》)中,敍述了一個令其氣結的故事,並透過其辛辣的筆觸,把那些被稱作華爾街“經濟學家”或“戰略家”的財演大肆揶揄一番:

有一次,有人請我發表對股市的看法。我說,我相信下個星期市場有很高的概率會略微上漲。有多高?“大概70%。”這顯然是鏗鏘有力的意見。接著有人插嘴說:“但是,納西姆啊,你剛剛才吹噓你大量放空標準普爾500指數(SP500)期貨,賭市場會下跌。是什麼原因使你改變想法?”“我沒有改變想法式!我那麼賭可是有很強的信心!(大家笑了起來)其實,我現在還想多放空一些!”會議室內的其他人看起來摸不著頭腦……

如果Taleb的講話對象不是吹水派的財演,而是實戰派的投資人,例如蹲在投注站門口的馬迷波迷,相信大多數聽眾都能心領神會,不致於對牛彈琴。馬迷說這場看好“威爾頓”但會下注“將男”,或者波迷說這場看好“曼聯”但會下注“史雲斯”,都是家常便飯般的下注策略。因為,對一個注碼起決定性作用的,不僅是機會率,還有賠率。

要解釋清楚,又得把Kelly criterion搬出來。適用於股票投資的公式是:

f = p/a – q/b

其中,f是投入資本的最佳比例,p是盈利的機會率;q是虧損的機會率;a是虧損幅度;b是淨盈利率。

如果只看機會率,顯然,就算是p>q,並不足以構成下注的決定,即f>0。要達致f>0,必要的條件是pb>qa。所以,賠率,或說回報率,是不能忽略的關鍵。

在一般的賭局中,如賭場或賭馬賭波,由於輸是會100%輸掉押注的本金,在這種情況下,公式中的a=1。要達致f>0,必要的條件就是pb>q。又因為q=1-p,故下注條件變成pb>1-p。在這裡b是淨盈利率,而不是常見的賠率(odds),化作賠率,就是o=b+1。於是得出p(o-1)>1-p,化簡後,下注條件就變成:

po>1

即是,取勝機會率乘以賠率要大於1;這就是一切賭局博奕的基本大法。決定一個注碼時,機會率和賠率,缺一不可;取勝機會率乘以賠率小於或等於1,也不可。

2015年9月6日 星期日

一條公式走天涯

雖然Shannon's Daemon顯示了匪夷所思的資本增長速度,但是,如果盲從其50%股票50%現金的組合來投資,不管投資哪只股票,結果都將是令人大失所望的,原因是,Shannon舉這個例子時,用了非常非常特殊的假設條件,而現實中,是不可能有股票符合這樣的條件的。

William PoundstoneShannon's Daemon收錄在其作品Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System That Beat the Casinos and Wall Street之中,用意是以Shannon's Daemon襯托這本書的主角──Fortune's Formula,而這條被炒家和賭徒用以橫掃賭場、華爾街,甚至香港馬場的財富公式,就是Kelly criterion,說一條公式走天涯,並沒有誇大。

Kelly criterion有幾個常用的形態,比較方便用於股票投資的公式是:

f = p/a – q/b

其中,f是投入資本的最佳比例,p是盈利的機會率;q是虧損的機會率,對同一只股票,自然就是q = 1 – p了;a是虧損幅度;b是淨盈利率。

考慮Shannon's Daemon的情況,那個非常非常特殊的假設條件,就是假設股票每天有一半機會升100%,有一半機會跌50%,升跌的機會率和幅度都是固定的,代入Kelly criterion的公式,得出:

f = 0.5/0.5 – 0.5/1 = 50%

所以投入50%的資金是最佳的比例。

Shannon's Daemon可以說Kelly criterion的一種殊情況。而現實中,不可能有一只股票會連續地每天維持一半機會升100%一半機會跌50%,故50%股票50%現金組合的投資策略很難在實際操作中取得超高的收益。

透過Kelly criterion,有幾個大方向基本上能明確下來:

第一,在現實操作中,即使遇到Shannon's Daemon的同樣條件,也應該多持股票少持現金,因為股票有股息,令ab,導致f

第二,相對於Benjamin Graham的“股票 + 債券”組合,如果採用“股票 + 現金”組合,股票的比例也要大一些,原因同上。

第三,在市場基本條件沒有太大的變化下,如果市場價格出現大幅波動,例如恆指從20000點跌到10000,顯然再跌到5000點的機會不會比重返20000點的機會大,而大跌之後週息率也會增加,這個時候p↑,q↓,ab↑,會導f↑。反之亦然。故低買高賣是有根有據的。

至此,雖然整個框架還是有些模糊,但一個可操作的交易系統已漸見眉目了。