數字遊戲

化骨龍一邊玩著計數機，一邊分享他的開心大發現：原來0的0次方等於1，而不是等於0。但係……點解呢？

池某嘗試以limit的概念去解釋，當x->0，lim(x^x)=1，見下表：

化骨龍很快又有一個更有趣的發現：既然1^1=1、0^0=1，0至1中間的數字取自己次方都小於1，點解最細的數值唔係0.5^0.5而係0.4^0.4？

“0.4^0.4應該不是最細的，若細分下去，0.37^0.37左右會更細。”池某憑直覺衝口而出，同時腦海裡浮現了1/e這個神奇數字。

口講無憑，好在要證明也不難：

Let f(x)=x^x，d一d就得出，

f’(x)=( x^x)(ln(x)+1)

因為f’(x)=0即ln(x)+1=0時f(x)有optimal，所以可以解出x=1/e=0.36789441…

正是0.37左右。

不過同小學雞講derivative都係嘥氣，還是列個表方便啲：

池某之所以說1/e是個神奇數字，相信有看過趣味數學題之類的都知道，1/e正是選擇困難症的最佳解藥。著名的請秘書問題、揀老婆問題、見好就收問題等等，甚至蘇格拉底與柏拉圖關於愛情、婚姻和幸福的對話，都可以用這個數字來解答。

這個數字應該如何使用呢？假設你安排了與100個人相睇，依次逐一與他（她）們會面，會面後要即時決定是否揀他（她）做老公（婆），一旦作出決定就不能反悔，而在這100次會面中一定要作一次決定也只可以作一次決定，應該點揀？正常人遇到樣的問題都難免會選擇困難症發作：若太早作決定，很難確定那是不是最好的；若太遲作決定，很大機會會錯過了最好的。

在這種兩難關頭，就可以請1/e出場了。具體做法是先將1/e的比例（100人就是前37人了）列作觀察，而不作決定，但記下最好那個有多好，一旦之後遇到一個同樣好的或更好的，就要立即作出決定。這種放棄前面1/e比例的決策方法被稱為最優停止理論（Optimal Stopping Theory），也被稱作1/e法則或37%法則。

從上面例子也可以看到其實1/e法則的使用限制相當多，很難在實際中驗證其效果。現實中有什麼情況是要經常作決定而且一決定之後就不能反悔的？最常見的例子應該是股票交易。那1/e法則是不是一個用以撈底或逃頂的理想方法？

為了滿足1/e法則的使用條件，這裡先假設每個交易日只能交易一次，且以多少個交易日為計算單位。舉個例子，只考慮3個交易日的情況，要撈中3個交易日的最低位，怎樣操作的可能性最大？根據1/e法則，應先放棄第1天，然後再以第2天的價位同第1天比較，若不是比第1天更低，就用第3天的價位同第1天比較再作決定。問題來了，若第3天的價位也比第1天高呢？可見，用所謂“最優”的1/e法則，其實並非100%能選到最優答案的。那麼其成功率有多高呢？

若詳細拆解共有三個選項的情況，假設在A、B、C三個選項中，A最優，B次之，C最差。三個選項的排列方式共有六種：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB和CBA，顯然，如果是隨機地選擇一次，選中A的機率就是1/3；使用1/e法則呢？放棄第一個不選之後，BAC、BCA和CAB這三種情況都可以選中A，成功率提升至1/2。

不過，隨著選項數目增加，1/e法則選中最優的成功率也會逐步下降，可幸的是，不管選項總數增加到多少，成功率也只會降到1/e，即接近37%左右就不會再下跌了，見表：

可見，要使用1/e法則來撈底，即使是在使用環境極度簡化、理想化的情況下，成功率也只得37%左右，而且還有一個現實中未能預知的問題無法解決，那就是每次輸贏的幅度。因此，看不到1/e法則用於撈底操作的實際可行性。最多只能領會一下其精神：比少少耐性，讓子彈飛一會兒才出手，會比匆匆作決定較優。

今年1、2月間，恒生指數受疫情影響開始下跌，從29000多點跌到26000多點時，池某身邊的朋友，包括很多師奶大嬸都已磨刀霍霍、蠢蠢欲動，準備重錘出擊撈底，有的問及池某意見，池某又不是財演大師，哪知幾時係底幾時係頂？只能重申一下1/e法則的精神：比少少耐性會係較優的選擇。

後來有一位朋友說，他使用1/e法則在3月19日今年恒指的最低位成功撈底買入了2800，聽得池某一頭霧水。他解釋說，只記得池某說過舉棋不定時可以用1/e法則作決定，但無法套用於股市，於是他自製了個人版本的“1/e新法則＂，以恒生指數的歷史高位33484點下跌1/e，即33484*(1-1/e)=21165點為撈底界線，結果一擊即中。

咁都得？！池某自愧不如也。