2020年8月27日 星期四

數字遊戲

化骨龍一邊玩著計數機,一邊分享他的開心大發現:原來0的0次方等於1,而不是等於0。但係……點解呢?

池某嘗試以limit的概念去解釋,當x->0,lim(x^x)=1,見下表:



化骨龍很快又有一個更有趣的發現:既然1^1=1、0^0=1,0至1中間的數字取自己次方都小於1,點解最細的數值唔係0.5^0.5而係0.4^0.4?

“0.4^0.4應該不是最細的,若細分下去,0.37^0.37左右會更細。”池某憑直覺衝口而出,同時腦海裡浮現了1/e這個神奇數字。

口講無憑,好在要證明也不難:

Let f(x)=x^x,d一d就得出,

f’(x)=( x^x)(ln(x)+1)

因為f’(x)=0即ln(x)+1=0時f(x)有optimal,所以可以解出x=1/e=0.36789441…

正是0.37左右。

不過同小學雞講derivative都係嘥氣,還是列個表方便啲:



池某之所以說1/e是個神奇數字,相信有看過趣味數學題之類的都知道,1/e正是選擇困難症的最佳解藥。著名的請秘書問題、揀老婆問題、見好就收問題等等,甚至蘇格拉底與柏拉圖關於愛情、婚姻和幸福的對話,都可以用這個數字來解答。

這個數字應該如何使用呢?假設你安排了與100個人相睇,依次逐一與他(她)們會面,會面後要即時決定是否揀他(她)做老公(婆),一旦作出決定就不能反悔,而在這100次會面中一定要作一次決定也只可以作一次決定,應該點揀?正常人遇到樣的問題都難免會選擇困難症發作:若太早作決定,很難確定那是不是最好的;若太遲作決定,很大機會會錯過了最好的。

在這種兩難關頭,就可以請1/e出場了。具體做法是先將1/e的比例(100人就是前37人了)列作觀察,而不作決定,但記下最好那個有多好,一旦之後遇到一個同樣好的或更好的,就要立即作出決定。這種放棄前面1/e比例的決策方法被稱為最優停止理論(Optimal Stopping Theory),也被稱作1/e法則或37%法則。

從上面例子也可以看到其實1/e法則的使用限制相當多,很難在實際中驗證其效果。現實中有什麼情況是要經常作決定而且一決定之後就不能反悔的?最常見的例子應該是股票交易。那1/e法則是不是一個用以撈底或逃頂的理想方法?

為了滿足1/e法則的使用條件,這裡先假設每個交易日只能交易一次,且以多少個交易日為計算單位。舉個例子,只考慮3個交易日的情況,要撈中3個交易日的最低位,怎樣操作的可能性最大?根據1/e法則,應先放棄第1天,然後再以第2天的價位同第1天比較,若不是比第1天更低,就用第3天的價位同第1天比較再作決定。問題來了,若第3天的價位也比第1天高呢?可見,用所謂“最優”的1/e法則,其實並非100%能選到最優答案的。那麼其成功率有多高呢?

若詳細拆解共有三個選項的情況,假設在A、B、C三個選項中,A最優,B次之,C最差。三個選項的排列方式共有六種:ABC、ACB、BAC、BCA、CAB和CBA,顯然,如果是隨機地選擇一次,選中A的機率就是1/3;使用1/e法則呢?放棄第一個不選之後,BAC、BCA和CAB這三種情況都可以選中A,成功率提升至1/2。

不過,隨著選項數目增加,1/e法則選中最優的成功率也會逐步下降,可幸的是,不管選項總數增加到多少,成功率也只會降到1/e,即接近37%左右就不會再下跌了,見表:



可見,要使用1/e法則來撈底,即使是在使用環境極度簡化、理想化的情況下,成功率也只得37%左右,而且還有一個現實中未能預知的問題無法解決,那就是每次輸贏的幅度。因此,看不到1/e法則用於撈底操作的實際可行性。最多只能領會一下其精神:比少少耐性,讓子彈飛一會兒才出手,會比匆匆作決定較優。

今年1、2月間,恒生指數受疫情影響開始下跌,從29000多點跌到26000多點時,池某身邊的朋友,包括很多師奶大嬸都已磨刀霍霍、蠢蠢欲動,準備重錘出擊撈底,有的問及池某意見,池某又不是財演大師,哪知幾時係底幾時係頂?只能重申一下1/e法則的精神:比少少耐性會係較優的選擇。

後來有一位朋友說,他使用1/e法則在3月19日今年恒指的最低位成功撈底買入了2800,聽得池某一頭霧水。他解釋說,只記得池某說過舉棋不定時可以用1/e法則作決定,但無法套用於股市,於是他自製了個人版本的“1/e新法則",以恒生指數的歷史高位33484點下跌1/e,即33484*(1-1/e)=21165點為撈底界線,結果一擊即中。

咁都得?!池某自愧不如也。

333 則留言:

  1. 十分有趣!

    請問可以推介一些談及這些有趣的數學概念的書嗎?(最好是適合中學生左右的程度)感謝!

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    1. 前面文章曾談及一本《數學之美》,兄台可以參考一下是否啱口味。

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    2. 謝謝。之前讀你的朴時已有記下這本;待圖書館重新開放時會去借。

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    3. 現在圖書館有?之前池某只找到網上版。

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    4. 睇左數學之美,我諗我明得三成左右 :P

      但感覺上係一本好書!多謝推介。遲啲會揾機會睇埋其他吳軍既書。

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  2. 很好既文章, 深入淺出, 很高興又見池兄出文。

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  3. 支持池兄繼續分享, 沒有賭馬看池兄的model和不同理論都令人大開眼界

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  4. 1-1/e = 63%法則?

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    1. 明顯係符碌,不如叫「-6法則」。XD

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  5. 二重彩重新推出,應該會係各路高手嘅新戰場

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    1. 睇抽水率還是Q比二重彩稍稍吸引,反而單T的吸引力比之前提高不少。

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    2. 唔同Q合併, 但同單T合併彩池, 有D伏. 不過好彩我玩單T, 牌面多咗5.5%, 唔知是禍是福...

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    3. 四重彩同四連環合併彩池後, 有無人計過邊個著數D?

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    4. 頭半個月, 大冷forecast/quinela hedging 應該搵到食 :D

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    5. 玩單T相對之前應該係福;冷門W有明顯edge的話四重彩著數啲。

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  6. 我是排21.3買入
    結果低位是21.35

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    1. 差小小賠率而飲恨的情況賭馬更常遇到。

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  7. 池兄題外話問一個問題, Benter Correction 中的 coefficient k2 或 k3 是怎樣計出的? 我唔係數學底, 這個 Maximum Likelihood Estimation 真係唔知點入手, 唔係想做伸手黨, 但有無D簡單D嘅入門方法?

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    1. 說來慚愧,對於k2的使用,池某也是不求甚解的拿來主義者。至於k3,因池某下注一直是W為主Q為輔,k3用不著。

      網上有paper詳解這組coefficient的來龍去脈,非常長篇,不過池某是在多年前讀過,有可能記錯。這組coefficient應該不是以數學方法計算出來,而是統計出來,用不同地方的賠率或不同時期的賠率,統計出來的結果也不一樣,以k2為例,除了Benter Correction的0.81之外,還其他人做出來的0.80、0.78等等不同版本。

      數年前池某曾做過一個簡略的測試,當時的結果是0.81的版本較佳。池某的測試是這樣做的:先用W的最後RO以不同版本的coefficient計算出不同版本Q的EO,再代入Kelly calculator計算Q的注碼,最理想的情況,當然就是注碼為0,但實際上是總會有些許偏差的,於是就可以作出比較,統計一定數量的場次,總注碼最小者為優。

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    2. 我也是這樣測試, 都發現k2=0.81最接近, 但一場馬的數目越少, 這個k2應該越細.
      我用 6 Dice Game 測試, 發現k2去到0.45先接近.
      因此馬的數目不同, 這些k2,k3,k4是要調整的.
      計四重彩時, 少馬場合就最麻煩了, 錯到七彩.
      暫時只能用主觀的調整方法(即係自己話幾多就幾多)去頂住先, 所以想問問高人可以點計佢出嚟, 這個是致勝關鍵, 好想解決佢

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  8. 依個年代,其實以統計學為基本,加上些少編程來"賭"馬已是
    大勢所趨。小弟最近有些少時間,會不定時在這分享一下香港賽馬所會用到的編程教學,希望各位志同道合朋友交流交流,有所得益。

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    1. 咁正?霸個頭位先。
      編程部分池某好唔掂,難題都係交比專業IT人來做。

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    2. 細佬我都唔係識好多,大家交流下咁,希望依兩日寫完=]

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  9. 我寫咗少少野係MEDIUM。有興趣就看看,給個意見吧。也可以告訴我大家想知道些什麼,我寫寫看~

    https://ppg-horseracing.medium.com/ppg-%E7%B0%A1%E6%98%93%E4%B8%8A%E6%89%8B%E7%9A%84%E9%A6%99%E6%B8%AF%E8%B3%BD%E9%A6%AC%E7%B7%A8%E7%A8%8B-505ea8e9ef39

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    1. 好精彩, 好簡潔

      唔知如果要下注好多條飛,點樣"填飛" (group埋做最少注項)呢?

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    2. thx thx ..
      咩彩池??

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    3. 多謝 PPG 兄分享, 真係高手, 又學到好嘢!

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  10. 原本想寫在這裡,但這樣排版很難所以放棄了。如果池兄不喜歡我這種像宣傳的手法,我再看看如果可以在這寫。

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    1. 只要是有益於同道中人的,發表在哪裡都無所謂啦,池某不會介意。
      心急想問一下,PPG兄這個版本的自動下注系統,能否將excel的計算結果直接提交到「投注區」?假設提交一場20個左右不同組合的連贏注項需多少秒時間?

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    2. python的相容性很高,我想加兩三行就可以了;我遲下可以寫寫看;一秒左右吧

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    3. 池兄,VBA也有Selenium,可以在VBA解決,不用特別把excel的結果傳到python.

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    4. 其實馬會投注頁面有一個javascript(processQuickBet)可用, call佢下足30注,1秒都唔洗. 不過下得快唔一定贏得快, 我就係輸得快嗰個 XD

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    5. 師兄你好,想請教你QuickBet可否input bet amount?定系default to $10 only?

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  11. 對,所以programming不是最重要的一環,重要的是對賽馬的理解

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  12. 又寫了一些愚見,今次講講檔位的簡單分析

    https://ppg-horseracing.medium.com/ppg-%E7%B0%A1%E6%98%93%E4%B8%8A%E6%89%8B%E7%9A%84%E9%A6%99%E6%B8%AF%E8%B3%BD%E9%A6%AC%E7%B7%A8%E7%A8%8B-feature-engineering-post-bias-%E6%AA%94%E4%BD%8D%E7%A0%94%E7%A9%B6-1-8363dc8aaa6e

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  13. 我係個BLOG到都問左讀者幾條問題
    大家交流下

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  14. Good stuffs! Look forward to seeing more on your BLOG

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    1. I like summarizing what I have done so far. During the process I can make some self-reflection too=]

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  15. 現在每星期大約會寫一篇文章,有興趣就看看吧
    https://ppg-horseracing.medium.com/

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  16. 小弟睇左池兄大部分文覺得池兄係好多懶人既偶像haha

    有點好奇好似池兄咁醒既人在呢個現金唔值"錢"既情況下會係自己資產到KEEP住幾多成係現金 10%?定D現金夠生活就算

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    1. 市場變幻莫測,是醒是蠢亦是無常,今日的醒可能是明日的蠢,反之亦然,這方面池某認為沒有賢愚之別,只有保守或進取之分。
      池某認為自己是保守型,恒指21XXX點時,持現金比例確是低於10%,現在則高一些。

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    2. 池兄有投資部分錢落美股嗎? 呢幾個月美股都好牛 大家買TSLA都賺到傻

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    3. 池某對個股冇研究,多數買指數基金。

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  17. https://www.youtube.com/watch?v=cNOT4gE5IDA
    看了有趣的影片來分享一下, 雖然預測錯誤, 但池兄認為有值得學習的地方嗎?

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    1. 池某好鍾意呢個youtuber,佢好多條片都好正。冇記錯的話佢係一個中學物理老師,通過一啲趣味問題去普及教科書的基礎知識,好難得,好啱池某啲化骨龍睇。

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    2. 哈哈,亦都係咸網以外,中台兩地肯坐低安靜聽書既地方 因為見個方法幾似你, 忍唔住分享比池兄你睇

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    3. 抱歉,又有一愚問,基本上每新一年我都有會將上年既所有PROFIT收起, 重新由一萬元出發, 一向都用Kelly Criterion計算金額, 但如以30%為例, 一開始投放既資金就太大, 想問下剛開始投注新一筆資金時用0.25 Kelly 會唔會有d白痴?

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    4. 個人認為Kelly比例宜低不宜高,現在開跑前後的賠率變化很大,高Kelly比例容易造成overbet。

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    5. 10000本玩4分1 kelly
      想請問一年目標能賺多少?

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    6. 1.視乎個model有幾勁。
      2.現在贏錢的難度每年都在提高。

      記得macaupro兄講過,他在90年代以一個非常簡單的model,用了一年半就由1萬元本金贏到100萬元,但之後贏錢的難度越來越高,難以為繼。

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  18. 池兄及其他師兄有空看看我今天投注的馬會否輸少過17.5抽水。謝,,怕長賭輸

    1場3.8
    2場10
    3場3
    5場1
    7場10
    8場 6.11
    9場 2.10.12
    10場4



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    1. 這樣很難判斷。正規的做法是將EO與RO的R^2作比較。
      而且最近幾個賽日贏錢太容易,為免出現自欺欺人的結果,要將比較的sample size放大一些才可靠。

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  19. 池兄說的EO和RO的R^2的比較是指把model fsctors和odds分別單獨做regression出來的R^2做比較嗎?
    這樣跟用alpha beta的對比會比較準確?

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    1. 是池某說得簡單化了,這裡說的R^2是指分別將頭馬的EO和RO作R-squared test,比較一下兩者的高低。
      比較alpha和beta也是一種方法,但與R-squared test相比有兩點不足:
      1. alpha:beta的數值是靜態的,只反映固定data的結果,隨著data增減,其比例變化可以很大,特別是接連開出一面倒大熱門時。
      2. 下注時用的EO,其實是揉合了alpha和beta之後的EO,只看alpha:beta並不能看到其揉合後的效果。

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    2. 謝池兄解答
      如果用非揉合了alpha和beta的EO計算出來的R^2也比RO的R^2高,就安全了

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    3. 是。2 step EO的R^2一定會高過1 step的,否則做2 step就沒有意義了。但想贏錢,還要高過RO的R^2才足夠。

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  20. 祝池兄及各師兄,身體健康,牛年大勝。

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    1. 多謝。祝老兄馬到功成,牛氣沖天。

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  21. 祝池兄新年快樂, 身體健壯如牛,Model牛氣沖天!

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  22. 請問池兄有無試過用model直接計位置既probability?
    池兄覺得咁樣計會唔會比用benter correction計出黎既probability準確?

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    1. 有想過這個方向,其中最大的問題是很難將一場馬各個名次probability之和以及每匹馬跑各個名次probability之和同時處理到等於1,特別是一些一面倒的熱門會出現跑入位置probability大於1的情況。要解決這個問題,就繞不開conditional probability,等於回到類似Benter correction的做法,那當然是直接用Benter correction更方便了。

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    2. 明白,謝謝池兄解答
      最後池兄有用到PPG兄的python program來下注嗎?

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    3. 沒有呢。賭Q才需要用,池某仍是以賭W為主。

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  23. 段速出色馬的數據分析如何?照計以往做過快時間,今場跑入Q的機會便會提升,這思維對嗎?

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  24. 池兄今個馬季收獲如何?

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    1. W部份大有改善,但欠缺前兩季接連中3T這樣的暴利。

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    2. 常規profit有改善比較重要?
      3T本身要中難度太高,每場都要無意外發生.
      可以發展位展和連嬴位置,把常規profit再擴大, 哈哈

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    3. 從投資的角度看,當然是常規彩池的表現較重要;從賭仔的角度睇,中大彩池的快感要強烈一些。呵呵。

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    4. 哈哈,那當然,看著本金突然暴升特別爽,哈哈.

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    5. 池兄,能長線在W彩池有盈利確實吾簡單,請問當中有包含回扣在內嗎?

      E

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    6. 完全冇回扣平手不成問題。

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    7. W在冇回扣的情況吓能平手已經非常吾簡單,利害! 有了你這個指標,相信還能留給有心人一點目標和希望。新馬季繼續努力!

      E

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    1. 1.個Example的計算結果是對的。根據所列的數據,轉化為EO依次如下:

      307.9765938
      307.9765938
      307.9765938
      61.61429452
      4.399472063
      6.161429452
      1.711156742

      RO部份要留意「dividend rate is D = .8」這個給出的條件,轉化成:

      32
      21.33333333
      12.8
      6.4
      3.2
      2.56
      4.266666667

      代入Kelly calculator,可計出7號馬注碼分配為0.487;另外5號馬為0.09746。與例題的結果一樣。

      2. 池某也沒見過同時介紹multi-Kelly和simultaneously Kelly的文章。簡單地說,前者是用來計算單場,後者是用來計算多場過關。一般賭馬的文章都不會提及simultaneously Kelly,特別是香港賽馬以pari mutuel彩池為主的情況,使用simultaneously Kelly沒有意義。Simultaneously Kelly比較實際的用處,在於處理fixed odds(例如賭波)的過關注碼分配。

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    3. 有個疑慮,計連贏時豈不是下下要搞個20*20,其至30*30矩陣?

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    6. 倒不是難易的問題,實際落場只講求兩點:快、方便。就係無論一場有幾多隻馬跑(即使像S1賽事一場出30隻馬),都要做到一撳掣將更新賠率、計算注碼、提交注項全個過程「秒殺」。中間所有環節能簡則簡,避免任何可能出現的延緩。

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    7. 明白你的意思,我仲未去到落場玩的地步。宜家連點樣用MLR去求EO都毫無頭緒啊。先剛剛研究咗幾日賭波賭馬咋。見到你用泊松分佈去賭波,用Kelly Criterion去分配資金,真係驚為天人。我首先要去學下STA101先,要做到你同IT人搞個自動投注系統咁,真係不知何年何月啊。

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    10. 佩服兄台的用功。
      把背後的數學原理弄清楚,的確有助於打造一個扎實的起步基礎,之後要推進工作,亦會事半功倍。
      如何善用CPU也是一個有趣的問題。數學上很精妙的解題步驟,未必適合電腦做。但諸如排序、篩選等等對人手而言的複雜工序,對電腦來說則是輕而易舉。所以如何將解題步驟設計成又繁又簡或說看起來繁做起來簡,也是一個很好玩的遊戲。

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    11. 隨左CPU之外,其實都要睇下用邊種軟件去做計算,有啲軟件對MATRIX既運算特別好,有啲用番基本programming既做法又會快啲
      最後最好都係搵番自己本身最熟同最舒服既工具黎做,一出咩問題可以最快速度解決

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    12. 剛剛先看到池兄呢篇文
      http://poolshunter.blogspot.com/2016/12/kelly-criterion.html
      對於Kelly Criterion的第二種情況,暫時我一點概念都沒有。不過池兄呢篇文應該可以給我一點啟發,真係要多謝池兄的無私分享。

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    13. 疑問,點解我用網上個Kelly Caculator,計出的結果會同你計出的結果不一樣?
      Win Prob = 1/EO 對不對?

      http://poolshunter.blogspot.com/2015/09/blog-post_20.html

      4場球賽和用網上Kelly Caculaotr的不一樣。


      https://upload.cc/i1/2021/07/22/VgSoWa.png

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    14. 池某唔賭fixed odds彩池,Simultaneously Kelly用唔着,所以呢個program早已束之高閣,搵唔返了,無法覆核一次。
      如果只看表面的數字差距,問題很可能出在expected odds的四捨五入誤差,特別是#3那個1.5倍,只顯示了小數點後一位,實際可能是1.495~1.499倍。

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    15. 池兄昨晚(2020-JUL-24)有無落場?我初次用Kelly Criterion方法買馬,處男下海,下注了第四場,跑出2-19-11-12,二馬輸了頭馬一個馬鼻。慘輸HK$980蚊。賽後分析發現有如下問題:
      1. EO, RO 都不準確或update,全部自己手動輸入。
      2. 手動投注十幾匹馬獨贏,手忙腳亂。
      3. 我自己的Kelly算法,有問題, 算出的 SUM(F)竟然有0.98 ???

      https://upload.cc/i1/2021/07/25/QXbeWu.png

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    16. Kelly Criterion本身並不能產生利潤,需要有edge的EO才能贏錢。海外馬的EO無法自己計,而在網絡年代,大家可以找得到的有質素EO應該都差不多,不會有明顯比別人大的優勢,故海外馬現在只能是過下癮的雞肋,很難食到大茶飯,特別是馬會搞什麼匯合彩池時。
      RO部份應避免手動輸入,可以從馬會直接匯入:
      http://poolshunter.blogspot.com/2018/07/blog-post.html

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  27. 多謝解答。我算RO時計錯了, 用了錯誤的公式 (eri / pii) - 1 , 其實直接 1/betai * 0.8 或者 eri / pii 就可以了。

    現在的難題係如果計算出EO, 只能慢慢研究MLR了。

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  28. 今日不談Kelly criterion,恆指又跌到低點,依照你的1/e criterion,可以【訓身】入貨未?

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    1. No,1/e並非池某的炒股criterion。
      按池某自己的計法,恆指的合理的目標價是20000點。原因是近期被恆指公司納入成份股的所謂科技公司非常垃圾,即使跌到目前的價位仍沒有投資價值。

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  29. 有關 What Are My Odds? 的疑問?
    https://www.youtube.com/watch?v=YOVrZrJ-wtc

    池兄,可否解答一下小弟其中不明白的地方。如果馬匹的performance 用 U_i 表示,其中
    U_i = V_i + E_i , E_i 為正態分佈。則以下數學公式表示什麼意思?很奇怪benter的PPT公式都少了右邊的大括號。

    https://upload.cc/i1/2021/08/05/Y6viOc.png
    馬匹i的狀態 <= 不包括馬匹1的集合中最差狀態的馬匹的概率? 為什麼 k=/= (1)?
    整個數學符號表示什麼意思?

    https://upload.cc/i1/2021/08/05/fU0VNo.png
    上式, beta這個參數從何而來? U_j(1), U_jn 什麼意思? 為什麼 n =/= (1) ?
    整個數學符號表示什麼意思?

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    1. 自問自答,我發現MLR同Benter片中所講的Probit horse racing model。都同離散選擇模型(Discrete Choice Model) 有關。暫時先不去理會演講的2頁PPT。先搵一的DCM入門文章讀下先。

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    2. //為什麼 k=/= (1)?
      即係同一場上陣馬匹唔可以只得一隻。
      幅圖應該係想介紹一種以normal distribution來估算馬匹機會率的方法。因為冇上文又冇下理,只得一幅圖一條式,好難就咁估。印象中計得精彩書入面有介紹呢種計法的具體原理。

      beta嗰條式係指擬合過去j場賽事數據分佈時,可以用一個likelihood function去maximized個擬合效果。
      n =/= (1)的意思同上面k=/= (1)一樣。
      呢個做法好似出自當年顧教援一篇論文,不過呢篇論文非常艱澀難明,我等凡夫俗子真係搞唔掂。

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  30. 池兄你好,

    想問一下以你的經驗, 數據多久需要更新一次?
    例如用2年數據比如18-20年2季的資料去玩20-21年馬季, 然後假設21-22馬季也是沿用18-20的數據比較好, 還是要轉用19-21比較新的為好呢?

    然而同一組factor, 18-20和19-21 run 出來的p-value 都差很多, 有不少本來是正常的factor, p-value都變到很大, 這是發生了什麼問題嗎?

    希望池兄指點, 謝謝

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    1. 池某的做法是每個賽日後即時更新數據,並且重新tune過啲factors。個人意見係不宜用太舊的數據。

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    2. 但唔係要預留一些新的賽事去test完再實戰嗎?
      如果每個賽日後即時更新數據,並且重新tune過啲factors, 咁會唔會就等於用一個沒經過測試的新模型去玩下次賽事?

      子貓

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    3. 1)有乜嘢test好得過實戰?
      2)如果個model夠穩定,更新數據後各個parameter的變化會很輕微,啲factors基本上唔使點tune,最多只需要小小微調。

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    4. 1. 所以如果情況是18-20 data parameters 穩定
      但19-21 data parameters 就有幾個大幅變化, 即係果堆factors 本身有問題?
      2. 微調是指平方次方log之類嗎?

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    5. 1.Data分佈本身的變化應係更大的原因,比如個別騎練的明顯進步或退步,新騎練的加入;又或者一些新偏差的出現或舊有偏差的消失等等。
      2.冇咁大動作。只係諸如將一啲上陣次數少數的騎師group埋或拆出來之類的簡單調整。

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  31. 但如果出現問題的不是騎練因素, 應該如何調整呢?

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    1. 一般冇乜嘢需要調整。
      Factor因data加減而出現大變化較常見的情況有兩種:第一種係被性質相近的其他factor dominated咗;第二種係涉及呢個factor的data分佈本來就趨於random。其中第二種情況危害較大。

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    2. 受教了 謝池兄

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  32. 池兄,我呢一個星期看了很多【回歸模型】的入門書同賽馬MLR模型的paper,但既沒有收集Data,也沒有落手落腳【砌】模型。因為以前我從沒有接觸過統計,有關2 step 模型有如下疑惑未明:

    假設我已完成2 step模型的 step 1 MLR模型,可以算出各匹馬的Win 或然率 p_i,看到你以前的留言說 step 2 就很簡單,再做一次regression就可以了。問題是做什麼regression, 是做binary logistic regression 還是做多一次multinomial logit regression ?

    例如用這下面3列數做binary logistic regression
    Win:
    【0,0,1,0,0,0,0,0,0,0......】
    step 1模型算出的P的自然對數:
    【ln(p1),ln(p2),ln(p3),ln(p4)......】
    賽馬Win派彩賠率算出的P的自然對數:
    【ln(P1),ln(P2),ln(P3),ln(P4)......】
    Win列中的0表示該只馬沒有跑第一, 1表示跑第一
    p1,p2,p3......表示由step 1模型算出的參數計算出的Win或然率
    P1,P2,P3......表示由派彩的賠率算出的Win或然率。

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    1. 不用假設,先做個1 step model吧。2 step model只是1 step model的簡化版,把1 step model的n個factors簡化成2個。

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  33. 2021年9月5日,馬季開鑼。對於池兄等持有MLR模型的各路高手又可以悶聲發大財。小弟研究學習賽馬2個月,統計所需的數據都未知如何收集處理。今日無馬可賭。

    想請教一下池兄從有建立賽馬模型的想法開始,到有一個穩定正回報的賽馬系統總共用了多少時間?我暫時無法克服的困難時如何【自動化】收集和處理歷史數據,靠手動複製和粘貼的話,真係會做到手殘。

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    1. 好快就贏錢,好快又輸返。沒有所謂的「穩定正回報」,因為RO的R^2逐季飆升,若model改進的幅度追不上RO R^2的升幅,就會由正回報變成零回報甚至負回報。砌model並非一勞永逸,而是無止境的追逐。

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    2. 想請較一下池兄,你的MODEL有沒有FACTORS/FEATURES係需要你每場馬做賽後檢討而得出?(例如睇比賽影片量化賺蝕)

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    3. 沒有呢。沒有時間和精力這樣做。

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  34. 池兄,我仍然沒有搞掂一個可行的自動化 MLR Model 賽馬系統。所以只能用+ - × / copy and paste EXCEL大法。做到手殘。都只能算出明天9月19日最後2場的EO。和你的MLR Model算出來的EO大致一樣嗎?

    race 9 EO:
    64, 11.7, 7, 12.1, 56.8, 10.1, 18.3, 9.7, 6.1, 16.9, 23.6, 27.4, 10.1

    race 10 EO:
    8.2, 8.4, 7.3, 22.1, 17.2, 6.5, 17.6, 46.6, 8.5, 22.8, 10.9, 30.4

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    1. 差別很大。
      根據往績,池某個model在沙田的表現差過快活谷好多,所以差別大對兄台來說是個好消息。XD

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    2. 想請教一下池兄如何處理如下問題:
      如圖 https://upload.cc/i1/2021/09/19/HPrmfo.png 以今日第九場為例。
      熱門2號馬, 我算出的EO 11.7, 比 RO 4.8高出一截,根據Kelly Criterian是不會投注這匹馬, 假如結果是3號,8號馬跑出,是會大賺一筆。但通常都是開出熱門馬 2號。就會輸錢。而且常常是冷門馬輸一個馬頭甚至是馬鼻。是不是有什麼辦法,再處理一下EO, 使它和RO更接近呢?

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    3. 今日賽果證明我個方法行唔通。用1000蚊, 0.5個kelly,玩咗10場,只有2場總共贏了約700蚊,但全日來講,總共輸了約1000蚊。

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    4. 沙田賽事RO的R^2甚高,代表贏錢的難度較大,池某今日苦戰一日,盈利也不足20%。
      兄台的EO偏向平均,即使每場都開出EO最熱那匹馬,EO的R^2也不會很高,恐怕不足以應付沙田的賽事。

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    5. 我用win (1 或 0), lneo eo的對數 lnro ro的對數 做step 2的MLR,有如下的結果:

      Coefficients :
      Estimate Std. Error z-value Pr(>|z|)
      lneo 0.29002 0.50070 0.5792 0.562439
      lnro -1.19636 0.42919 -2.7875 0.005312 **
      ---
      Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’

      是否說明我的 lneo 與 Win 關係不大,我的EO同亂估沒有多大分別?

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    6. EO的p-value太大,冇乜作用。

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  35. 我查返Benter的論文,發現論文中是用 log of probability。所以改用如下數據做MLR。
    Win ( 0 或 1)
    lnep ln(1/EO)
    lnrp ln(0.82/RO)
    得出如下結果。

    Coefficients :
    Estimate Std. Error z-value Pr(>|z|)
    lnep -0.29002 0.50070 -0.5792 0.562439
    lnrp 1.19636 0.42919 2.7875 0.005312 **
    ---
    Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’

    與上面比較正負號剛好相反。

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    1. 我發現自己根本不知MLR為何物。有無人可以教下我,如何算下圖中的alpha 同beta ? 唉,都係返去讀下書先。

      https://upload.cc/i1/2021/09/20/eKPd2q.png

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    2. 即係上面EO同RO個Parameter Estimate。

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    3. 我一直都覺得應該是這樣,問題係我用得出的alpha 同 beta 去計返 C_i (combined probability estimate) ,得出的結果完全不正常。發現結果不似預期的一刻,懷疑自己對MLR一直理解錯誤。


      可能我今日太累了,有的野搞錯咗。休息一晚,明天再計過。

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    4. 作者已經移除這則留言。

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    5. 池兄,剛才我又再用Excel驗證計算C_i,發現算出的結果是合理的。可能中午的時候,人太累,有的野搞錯咗。現在放心了,至少一直的想法同原理沒有大錯。

      不怕池兄笑話,因為手上沒有更多的數據,上午只是用了昨天10場的EO和RO做MLR。
      下一步要解決的是用程式自動收集和處理數據的問題。

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  36. 又到週日賽馬日,借池兄個Blog留下自己的預測。今週在股市損失慘重,已無閒錢賭馬。決定用HKD50 買明天7場連贏2-3. 下面是我的EO, 3號馬騎師莫雷拉,搞到RO低EO一截。經Kelly Criterion計算不會買。但通常又都會跑贏。

    https://upload.cc/i1/2021/09/25/AqP9UK.png

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    1. 兄台呢組EO買win回報不俗呀

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    2. 我自以為改良了少少上次的方法,中這場只是【撞彩】罷了。現在的方法,整日計還是要輸錢的。只有開RO的冷馬才會賺錢。如今日第二場。所以決定不會真金白銀落場玩,暫時都只會做Paper Bet。希望能盡快做出一個滿意的Model。

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    3. 池兄,說來慚愧。我今日才發現自己又問了以前池兄前面已經解答了的問題。因為我今日發現大約1年前7月在“砌模型”這篇文後面的問答。

      當時一位自稱門外看的網友已經一早用R做了我上面類似的東西,而且池兄又非常詳細地解釋了2 step Model。門外看自稱中五畢業,用了1-2年才明白linear regression,但他又非常熟悉database, 輕而易舉地就搵到50個有效factor。門外看兄,還有在看這個blog嗎?不知道你有否練成了九陽神功?

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  37. 請問池兄有無留意近年一本有關賽馬的書『香港賽馬煉金術』,對該書評價如何?

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    1. 很久之前已經有blog友留言談論過這本書,後來在書店看到翻了幾頁,沒留下什麼特別的印象。
      感覺上作者的目標讀者應是內地人士,而非香港馬迷。若撇除文字表達能力,只比較賽馬的知識和賭馬的技巧,很多香港資深馬迷的功力可能比作者還要深厚一些。

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  38. 現在我計算出來的EO,與RO比較的話。可以話係:熱的不夠熱,冷的不夠冷,兩頭唔到岸。Kelly計算後的投注結果是RO熱的不會買,RO冷的分配了很多投資額。除非跑出冷馬才會賺大錢,但通常都開熱門馬輸清光。下面是我對今日第10場的預測:

    https://upload.cc/i1/2021/10/01/ZzaH4F.png


    想問池兄幾個問題,我知道池兄有一個計算Kelly的簡單算法。如果轉攻連贏和3T彩池的話,有14匹馬參賽的話,就等同計算有91匹馬同364匹馬獨贏的資金分配問題。池兄有否嘗試這樣的計算?大約要用多少時間才能計算出結果?如果計算出的結果要買太多組合的話,會否只選擇期望值較大的組合投注?

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    1. 今日中咗4場10號,大冷門。全日埋單竟然係有錢贏。10場的預測是要輸錢的。

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    2. 連贏和單T?
      單T的抽水率略高又冇得食回扣,一般不會選擇在這個彩池搵食。
      如果想趕在開閘前一刻下注,有幾個耗時環節需要考慮:
      1.Read入即時賠率作2 step EO計算的時間。
      2.用conditional probability計算第二、第三名機率的時間(這部份池某覺得計單T比計PQ還要簡單快捷得多)。
      3.用Kelly作注碼分配計算的時間。
      當然,瓣數越多的彩池,上面3個環節耗時也會相對增加。而在實際操作上,上述所有計算時間加起來,都不如手動輸入一個注項並填上注碼的時間長,所以,賭連贏等彩池,一個方便快捷的自動投注系統是必須的。

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    3. 其實我想知道你個Kelly算法,能否在5秒內計算到91個組合的資金分配問題?
      實際出來的投注組合會不會通常少於20個?我想轉去試玩連贏,因為獨贏太多人玩啦。

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    4. 池某手上沒有獨立的手動輸入的Kelly calculator,都是已經嵌在系統裡,無法獨立地測試Kelly計算所需時間。
      可以確定的是,計算91個組合肯定不用1秒。因為池某個系統做嗮上述三個環節且同時計嗮Win同Q都唔使1秒。
      Q實際計出來的投注組合有時會超過20個(閘前打一條血河出來已經13個組合了 XD),對投注系統的技術要求高過Win好多。

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    5. 我又在留言裡搵到寶。看來2 step model真的可以解決我現在EO的問題。使到我現在的EO, 熱的更熱, 冷的更冷,真是我所需要的。

      https://upload.cc/i1/2021/10/01/r2t3fI.png

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  39. 好奇一問,計算獨贏的凱利公式可否用於計算位置的資金分配?
    例如現在我有如下位置預期賠率
    [ 3.43778469, 1.57826788, 2.66666667, 3.44109702, 8.42091081,
    5.52641905, 9.12375461, 4.00692396, 7.4105363 , 8.14902945,
    7.5813287 , 4.08238248, 12.18264217, 29.04275093]

    位置真實賠率
    [ 2.9 , 1.45, 3.25, 5.25, 2.25, 2.85, 7.95, 6.75, 23.65,
    3.8 , 2.55, 4.5 , 18.25, 14.7 ]
    池兄計算出來的資金分配會如何呢?

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    1. 以前有寫過計位置的Kelly,但發覺用Kelly買位置在實際操作上並不可行。原因是位置的RO較低,很多都在2倍甚至1.5倍樓下,而Kelly的分母是(RO-1),以致開閘前RO每跳動1格(0.05倍),注項的分配數額都變化甚大,實際執行起來與最終賠率那個「最優分配比例」也總是差距很大。
      池某認為對位置彩池的最有效運用是用以配合獨贏食回扣,至少保證了有10%的buffer去對抗各種計算和操作上的偏差。

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    2. 其實這是上星期日2021-OCT-10沙田的第十場的數據,我亂套公式,計得如下果。發現可以贏錢。但我不肯定我的計算方法對不對?所以想池兄用自己的方法計算,然後對照一下。

      本金 10000
      1凱利

      總投注 7390.0
      總回報 11725.0

      1 勝賢 190.0
      2 喜譽寶 910.0
      3 紅旺 1330.0
      4 金莊令 1410.0
      5 將耀 -0.0
      6 閃得快 -0.0
      7 日日型 110.0
      8 錶之皇者 1330.0
      9 大師級 1020.0
      10 皇帝金 0.0
      11 高耀智星 0.0
      12 前進 700.0
      13 爆騷 390.0
      14 駿龍飛騰 0.0

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    3. 見樓上個post,池某個Kelly calculator是嵌在系統裡的,現在手頭上沒有獨立的手動輸入的Kelly calculator,而且系統裡那個Kelly calculator也已經刪掉了位置,無法作測試。
      池某認為繞開獨贏用Kelly直接賭位置不是一個好主意。其一,如果位置的EO是經獨贏EO以conditional probability求得,不管用哪種計法,都難免會有計算偏差,若獨贏EO本身是具有優勢的,經有計算偏差所得到的位置EO長線回報率一定會差過獨贏。其二,用最後賠率計出的回報率並不可靠,尤其是位置,因為位置Kelly的分母甚細,好多時都細過1,下注後的一、兩格賠率變化已可令盈虧結果相去甚遠,不能對這樣的計算結果太認真,因為實際操作起來不是一回事。

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  40. 現在有一個關於修正EO的問題,不知道池兄有什麼好的提議。
    用MLR算出的EO,可以說是一匹馬根據往績得出的平均勝出率,現在想用騎師的近績,例如騎師今季的勝出率來修正EO。潘頓今季的勝出率是23.0%,莫雷拉16.7%,巴杜12.3% 。一匹馬配上好的騎師,勝出率自然會提升,問題是如何計算不同的騎師對EO的修正?

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    1. 做regression需要更多的往績數據。現簡化問題如下
      3匹馬H1,H2,H3的勝出率為[0.5,0.3,0.2],
      3個騎師J1,J2,J3的勝出率為[0.25,0.15,0.1]。
      如H1配J1,H2配J2,H3配J3,只能用上面的6個數,
      3匹馬新的勝出率[p1, p2, p3]如何計算?
      p1+p2+p3 應等於1 。p1應大於0.5, p3應少於0.2。有何妙法?

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    2. 用正態分佈計分法,計得精彩書入面有詳細介紹。

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  41. 池兄以前曾經用馬會的海外參考賠率賭越洋賽事。上星期六英國冠軍錦標賽馬日。用此法下注的話,是可以6場中2場的。而且因為第3場跑出21.9倍冷馬宜先動,本金1萬,1個Kelly,全日可贏HK$6580 , 如果跑完第三場就唔賭的話,則可以贏HK$9250 。

    想問下池兄現在的model通常在什麼情況下容易贏錢?
    例如快活谷比沙田容易贏錢?
    跑出冷門馬容易贏錢?
    跑1,2班馬比跑4,5班馬容易贏錢?
    勝出率低的騎師策騎跑出容易贏錢?

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    1. 大部份情況都無關model,而跟我們一直說的RO的R^2關係較大,即RO的R^2越大就越難贏錢。

      1.快活谷RO的R^2細過沙田好多。
      2.跑出熱門 = RO的R^2大
      3.呢點同model較有關係,越多初出新馬的場次越難計得準,而非關班次。
      4.沒有明顯的偏差。個人遭遇是,輸錢多的賽日一定關潘頓事,原因也是眾所週知了,贏唔到的馬佢好少會用力搏個P,比較下佢跑第一同第二、第三的比例就知。買W補P收回扣作保險呢招在佢身上完全唔work。

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  42. 池兄可以說一下,昨晚的成績嗎?我昨晚的成績可以說是一敗塗地。WIN,PLACE都慘敗。本來10月6日的快活谷位置是9場有5場可以贏錢。昨晚是9場只有1場是贏錢。唯一解析是天氣涼咗。

    獨贏
    場次: 1 投注: 3100.0 派彩: 0.0 利潤: -3100.0
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    1. 同病相憐呀,池某昨晚也輸錢,輸得最多那隻仍然係潘頓——赤馬雄風

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    2. 池兄赤馬雄風你計出來的EO是多少? 我計出來是4.6979,馬會賠率2.3,那就應該是不值搏不投注了? 是否你赤馬雄風EO計出低比2.3還低?

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    3. 2倍樓下,具體數字唔記得。

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    4. 我計赤馬雄風EO是2.24倍,反而皆大歡喜是5.40倍,計算方式對勝負影響咁大

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    5. 謝謝池兄回覆. 匿名兄我計皆大開心7.6169倍.

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    6. 我計到赤馬雄風係1.354。
      同埋尋晚贏錢😅

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  43. 有一段時間沒有留言,這段時間,一直在修改自己的Model,結果當然是不理想。用現在的模型買馬,自然是輸到貼地,可以說是五勞七傷,損失慘重。想請教一下各位如下問題:
    1.你們一般是用XML 還是用JSON獲取即時賠率?覺得那個方法比較好同update?
    2.一般你們是在開跑前幾多秒下注?
    3.除了賠率的XML外,有沒有排位表的XML,如何找以前的排位表,不要說從現在開始下載馬會的pdf,如果要自己手動輸入往績Data,真的好麻煩。
    4.馬會的賽果資料,我覺得不夠多,只有馬號,馬名,騎師,練馬師,負磅,體重,檔位,沿途走位,完成時間,獨贏賠率,真的可以從這些有限的factor和組合,找到有用的factor嗎?
    5.WIN 和 PLACE 連贏 位置Q如何組合購買 ?

    最後貼一下,今晚第二場的WIN PLACE 我計出來的資金分配。用本金10000,1 Kelly計算。因為我的EO估算十分不準確,大家笑下就算。
    https://upload.cc/i1/2021/10/27/9WK6Uy.png

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    1. 1.池某是用XML。
      2.WP在最後一兩隻馬入閘時買,Q要早半分鐘至1分鐘。
      3.以前有排位表XML,現在冇咗。可以寫個BOT從網頁提取自己想要的部份。
      4.見仁見智,各師各法。部份有用也算是有用。
      5.個人的排法係:
      W--有回扣
      WP--有回扣
      W--冇回扣
      唔會單獨買P。Q同PQ的排法亦一樣。

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    2. 池兄最後無用到python落注?
      我用python落注,落注過程5-6秒(落W用Q)。

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    3. 沒有呢。不常賭Q,WP又用唔著。

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    4. 看了xna的圖,我不明白為何RO比算出來的EO低,仍要下注? (例如非凡才子 RO=2.35 EO=2.85)

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    5. 其實大部分人計Kelly只會亂套公式,包括我。好多人只會用計得精彩個EXCEL計獨贏。只有池兄呢的高人先真正明白個原理,連贏又可以計,位置又可以計,加埋回扣又可以計,而且池兄話過有一個簡單快速的算法,不需要用到solver。你當我亂來就可以了。

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    6. 昨晚第2場,我計出的結果是賺不到錢的。只能打和。

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    7. 計連贏EO其實原理和計獨贏一樣, 你能計獨贏就能計連贏. 反而計位置EO我就始終諗唔到點計先至啱. Kelly是優化注碼分配, 是和計EO冇關係的. 如果將 "電腦預測賭馬" 這件事拆成上下兩部分去理解, 上半部係 "計EO的精準度", 下半部係 "Kelly優化注碼長遠最大化收益"的話, 其實重點應放在改良上半部, 因為如果上半部精準度太低, 下半部只會令虧蝕情況加速惡化. 如果上半部都未做到合格, 無謂浪費時間鑽研下半部.

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  44. 池兄有沒有備份XML,我想做一些Backtest, 現在手上只有10月分開始的幾場XML數據。有時做Backtest的結果好好,但實際投注的話又是另外一回事,可能是我沒有在最後幾秒才下注的結果。

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    1. 我想要有最後的每只馬位置賠率,如果有保留每個賽日的XML 文件就最好。

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  45. 池兄尋晚斬獲如何?大熱跑唔嬴應該賺得多?

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    1. 講一下我昨晚的情況。因為我現在主力買位置,而我的Model在有冷馬入位的情況下是有錢賺的。所以昨晚是贏錢,不過就唔會多。所以都不太滿意昨晚的表現。

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    2. 各位有沒有比較過用one step regression後的EO 和經過two step regression計算後新的EO 這兩種情況下贏輸的情況。我的Model如果用 one step regression後的EO去買馬的話,就只有開冷馬才會贏錢。 經過two step regression計算後的EO就只有開熱門馬才會贏錢。

      如昨晚4,5,6場有冷馬入位和話,就會大賺特賺。不論連贏 二重彩 單T都會中。問題係你點會估到某場開冷馬?

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    3. //尋晚斬獲如何?
      昨晚投注了W的馬竟然有6隻跑第二、4隻跑第三,贏到錢的只得一隻幸運勝駒。

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  46. 作者已經移除這則留言。

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  47. 有無人發現馬會有的場次單T不會提供全部的賠率,例如明天海外賽事的第5同7場,如果你選單T,裡面是沒有全部這個選項,而1,2,3場就有全部這個選項。點解?

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  48. 秋季天皇賞 16只馬又有.馬會玩野。無數據無得計。

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  49. 墨爾本盃 山埃貼士大放送。熱門全部唔買。上W下P。

    https://upload.cc/i1/2021/11/01/jLvxOb.png


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    1. 用誤差很大的EO計,有無可能贏錢?
      WIN QIN PLA QPL

      https://upload.cc/i1/2021/11/02/rYp1Bb.png

      https://upload.cc/i1/2021/11/02/IJ8kYM.png

      https://upload.cc/i1/2021/11/02/Z7u8lz.png

      https://upload.cc/i1/2021/11/02/ePyMlr.png

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  50. 位置如何做MLR?
    池兄有無做過位置的MLR?我發現原來不可以像獨贏那樣做。當我嘗試將位置的三匹馬的WIN轉做1時, 會顯示錯誤。因為一場馬只能有一只馬標記做1 。

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    1. 理論上可以針對任意一個名次做regression,但要準確計算出位置的機率需要做到「一場馬每個名次機率之和」以及「每一匹馬各個名次機率之和」縱橫兩個方向都是1,實際操作上這是不可能的任務。而要達到這個條件最簡單的方法莫過於用conditional probability,所以一般計算位置機率會用conditional probability而不會用regression,即使conditional probability的計法也非十分理想。

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  51. 上網search時,無意搵到,有無人有幸參加呢?

    https://www.cityu.edu.hk/rcms/colloquium/20040225.htm

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    1. Benter係city搞咗個數學獎。
      http://www.cityu.edu.hk/rcms/wbp/the_prize.html

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  52. 池兄而家都係入閘先落注?
    我今日第一場,個旁述太遲講入閳,搞到落唔到,原本贏錢,搞到今日贏得少少。

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    1. 有印象。第一場講馬佬冇提到「紅燈亮起」,突然失驚無神話「原來已經有馬入咗閘」。

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    2. 係-.-
      池兄係根㯫時間黎落定係同我一樣定講馬佬講紅燈亮起?

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    3. 買Q要「紅燈亮起」嗰下就撳掣;買WP可以等到「交俾閘前」嗰下先買。

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    4. 咁池兄今日第一場都落得切?無左紅燈亮起😂

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    5. 係。冇買Q。不過買埋Q會贏多好多。隻「金剛福星」池某計到EO係4.98倍。

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    6. 我想打巴個講馬佬😂😂
      我計出黎獨贏同連贏都大注

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    7. 隻「堅有料」池某記得開跑前一兩分鐘時係16倍,當時池某都填咗幾大注,到開閘前變咗11倍,搞到池某好快手咁減咗注,跑完結果係9.1倍,贏少咗好多。

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  53. 我發現用馬會個網上直播會比J2電視直播快一的。不過贏唔贏錢都係同你的EO最大關係,如果個EO的頻率分佈正,就算你提早一個鐘買都會贏大錢。

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    1. 放大個本金就會發現早一秒鐘買同遲一秒鐘買差別都幾大。

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    2. Xna兄,我係會贏錢,即係中左,但係落唔切注,唔係指我個EO唔中。我係純model自動落注,我人手指示個program落注。

      池兄,依個應該要睇公眾賠率係當場個效果如何,而家好多model派,熱錢流,會係最後一段時間將熱既加熱,正反效果最後都係睇當場既結果。

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