你有幾多斤兩？

中學與小學的其中一個分別，小學的課本是上下學期分開買的，中學的課本是一次過買全個學年的。女兒周遊列國未返，買書的事，自然是由池某這個怪獸家長代勞了。天時暑熱，真是苦差一件，雖然真正的體力勞動只是從樓下拿回家這段短短的路程，也搞到身水身汗。

書單上的教科書連作業加上補充讀物，一共有30幾本，還差幾本未買全。把搬回來的戰利品疊起來，高度已超過1呎；放上磅秤一秤，12kg。雖是過來人，想像一下小怪獸要在一年時間內把這堆東西塞進小小的腦子裡，然後再準備啃噬一堆更厚重、更困難的新書，年復一年，還是覺得怪怪的。

古人把學識廣博之人稱為學富五車，聽起來有些誇張。然而，現在一個學生從認圖認字之初開始涉獵的書籍，一年一年下來，教科書加上課外讀物，無論是體積還是重量，加起來還真不是個小數目。本地話用“有幾多斤兩”來形容一個人的能耐，看來還是頗貼切的，從讀書多少來看學識，真是可以“斷斤秤”。

花錢、花時間、花精力去學習那麼多知識，是否值得呢？有大師級人物如查理芒格者，苦心鑽研幾十門跨學科知識；又有人如魔術師者，乜都讀一餐，追求“周身刀張張利”；也有另類“大師”者，認為一兩本“經書”就可以解決所有問題，加減乘除以外的知識，都是多餘的。若“大師”所言正確，那十幾年的基礎教育，只讀“經書”一科就夠了，讀什麼數理化什麼文史地，不是浪費時間嗎？

學一門知識好還是多學幾門好？用一種決策方法好還是用多種決策model好？持有一只股票好還是多幾只股票好？假設股票是可能獲利可能虧損的，model是可能有效可能無效的，知識是可能有用可能無用的，這三條問題就變得很相似了。

要“量度”知識的效益，先要將之量化。古語云，開卷有益。不妨就將“益”視為edge。這樣，學習知識的效益就可以“計算”，問題也變得有趣了。如果有一門知識，有60%的機會學得成，學成後可令自己功力倍增，但有40%機會學不成，一無所獲。那應該花多少精力去學習這門知識呢？很簡單，代入Kelly calculator一算就有結果了，20%。

好了，如果有多一個條件相同的選項，讀多一科好，還是專注讀死一科好？再代入Kelly calculator算一下，得出的最優比例是投入32%的精力，平均分配於兩科。留意左下角的Expected growth，由讀一科的2.034%增加到4.1093%。

這個Expected growth是什麼意思？上述的例子，讀書也好，股票也好，且統一稱之為一個game（賭局）。回顧之前文章所介紹的最優化資本分配公式：
f = p/a – q/b
其中，f是投入資本的最佳比例，p是盈利的機會率；q是虧損的機會率；a是虧損幅度；b是淨盈利率。
相對應f這個比例，其最快增長速度g = p*ln(1+f*b)+q*ln(1-f*a)；
而每賭一次，資金的平均增長就是那個Expected growth = e^g-1；
（打算式太麻煩了，證明的過程就留待搞學術的人去研究吧。）

如果所有選項條件相同，像考DSE一樣讀夠八科，結果會怎樣？Expected growth增至17.4784%。

那些“大師”看到這裡肯定會唔忿氣：既然條件都一樣，使乜咁麻煩，重錘其中一科咪一樣？那就試試吧，假設重錘50%的精力於其中之一科好了，結果是：
g = 0.6*ln(1+0.5)+0.4*ln(1-0.5) = -0.03398
Expected growth = e^(-0.03398)-1 = -3.341%

非但沒有得益，更是負增長，死未？！這也說明了凡事不能過偏，否則會適得其反。明明是補藥，份量多了會變毒藥，正因如此；明明是一只好股票，注碼太重反而會輸錢，亦因如此；明明前人所教的是一套好方法，過於偏信反而會得出反效果，也因如此。

談到這裡，基本上也把Joseph兄那條令人搲爆頭的難題解決了，為什麼John Templeton當年不作分析、不用研究，一次過買上百只垃圾股也能賺大錢？答案就在上述的公式。在股市極低迷的時候，股票普遍都有edge，但也有可能買中垃圾中的垃圾而中伏，故最優的方法就是盡可能分散地買，把Expected growth推到最大。

要注意的是那個大前提，分散投資要在各個選項普遍有edge的情況才見效。譬如二年級的學生去讀一年級或三年級的書，edge就沒那麼明顯了，討論讀多少科好也沒什麼意義了。可見，edge是與timing相關的，若忽略了timing，一味東施效顰地學Templeton持有一大堆垃圾股，後果就不堪設想了。