Kelly Criterion

看到Michael兄義憤填膺地談Kelly Criterion，其實大可不必，現今世界並沒有明文規定誰應該用誰不應該用，別人要用，關你咩事（笑）？Kelly Criterion是上世紀五十年代的產物，已在世60幾年，老過池某好多，如果投資或賭博界人士現在看到Kelly Criterion還像發現新大陸一樣大驚小怪、大呼小叫，其背景知識的匱乏可想而知。

池某應算是寫Kelly Criterion寫得較多的Blogger（不敢說是最多），在Google search “Kelly Criterion 投資”或“Kelly Criterion 賭馬”，排在前面的基本上都是池某的文章。在這裡實在有責任作一個提醒：Kelly Criterion是一把雙刃劍，不能亂用；使用得當，它是一個收益放大器；使用不當，它是一個破產加速器。

當年John Kelly證明Kelly Criterion時，使用的是以二次derivative求optimal的傳統方法，簡潔而漂亮，有Pure Maths根底的看起應該沒什麼難度。然而當完美的理論應用到處處受限制的現實，問題就很多了。

理論與現實最大的差距是“無限”，數學的偉大是什麼都可以解釋到無限，但人類社會活動包括經濟活動都是有限的。使用Kelly Criterion時，即使對概率的計算是準確無誤，也完全有可能在幾次交易之後輸掉絕大部份的資本，理論上這並不是什麼問題，只要再經過無數次交易，最終還是能回復到理論值的結果。問題是現實中並不存在“無數次”交易，只要資本跌至低於最低注碼要求或一手股票的金額，就相當於已破產，翻身無望。

故此，經濟學泰斗Paul Samuelson始終對可以令人隨時破產的Kelly Criterion嗤之以鼻，認為是歪理邪說，並一直對之痛毀極詆。

Kelly Criterion後來在某些領域獲得成功驗證，主要是使用了概率論裡的大數法則（law of large numbers）去解決上述的“無限”或“無數次”問題，例如Edward Thorp在賭場一局接一局地賭二十一點，William Benter在香港的馬場一場接一場地賭馬，都是以不斷重複下注的“大數”，使結果接近理論值。

但要注意的是，無論是Edward Thorp賭二十一點還是William Benter賭馬，Kelly Criterion都只是輔助工具，並不是什麼可以贏錢的神奇公式。Edward Thorp贏錢的關鍵是其數牌優勢，William Benter贏馬的靈魂是其logit model。

既然談到“無限”，有必要說多一些。Kelly Criterion裡的“無限”要求，並非財演大師那招“無限補時”，而是無限交易。如果是所謂價值派那種Buy and Hold操作，只做一次交易，相當於只賭一舖大細，Kelly Criterion根本無用武之地。故Kelly Criterion早期在股票投資領域並不流行，特別是James Simons那種一秒鐘交易數十次的高頻交易出現之前。

Kelly Criterion流行不起來的另一個原因，是這條公式雖然看起來簡單，代入預期回報率和機會率就能得出注碼比例，但實際上我們遇到的賭局都不會只得一個選項那麼簡單，只要出現兩個以上選項，就無法以加減乘除計出最優比例，需要解多重積分的專業知識，才能寫出計算比例分配的Kelly calculator。

Kelly calculator又分兩種，第一種是賭馬的情況，無論一場賽事有多少匹馬上陣，所有馬匹的機會率總和是1，其結果也是互斥的，最終只會有一匹馬勝出；第二種是賭波的情況，很多場波球同時進行，它們的機會率是各自獨立的，賽果也是可以多變的。

第一種情況還算比較容易處理，有較多的條件可以利用，池某多年前就曾屙尿撞棍地撞中一條捷徑，繞過那些煩人的多重積分，寫出了比《計得精彩》隨書附送版本更快更穩定的Kelly calculator，計算14隻馬的“獨贏”注碼，瞬間就能出結果。且能不斷增加選項，即使計算有91個選項的“連贏”注碼，也只需兩三秒時間。

第二種情況就沒這麼簡單，就算避得開多重積分，每加一個選項，也少不免要加個loop，其間還有越來越龐大的排列與組合問題需要處理。池某當年絞盡腦汁，用以近兩個星期時間才成功解決。

要將Kelly Criterion應用於股票的注碼分配，無疑屬於第二種情況。故此，若想知道一個人是否真的研究過Kelly Criterion，還是現學現賣、濫竽充數、招搖撞騙，最簡單的做法就是以第二種情況作試金石，是龍是蟲一試就知，真的假不了，假的真不了：list出20隻期望回報和機會率都不一樣且都是正expected value的股票，如何計算這20隻股票的最優注碼比例？如果沒作過認真研究，別說20隻，計2隻都很大機會計錯。


後記：

池某寫這篇文章時，基本上是一氣呵成，沒有停頓過，但同時內心是幾經掙扎的。一方面，作為在市場內搵著數的小賭徒，池某非常樂見抱著無用工具、使用錯誤方法的水魚衝進市場引頸受戮；另一方面，作為一名曾經的數學老師，看到數學知識被人如此曲解，而這種謬誤還要被傳播，心裡實在不是滋味。

池某過去從不在意自己的文章有沒有人看，但希望各位blog友方便的話可以幫忙轉發呢篇，多一個人看到，未必多一個人獲救，如果能讓盲從羊群、頭腦發熱的人停一停、想一想，已是萬幸。