2016年12月9日 星期五

Kelly Criterion

看到Michael兄義憤填膺地談Kelly Criterion,其實大可不必,現今世界並沒有明文規定誰應該用誰不應該用,別人要用,關你咩事(笑)?Kelly Criterion是上世紀五十年代的產物,已在世60幾年,老過池某好多,如果投資或賭博界人士現在看到Kelly Criterion還像發現新大陸一樣大驚小怪、大呼小叫,其背景知識的匱乏可想而知。

池某應算是寫Kelly Criterion寫得較多的Blogger(不敢說是最多),在Google search “Kelly Criterion 投資”或“Kelly Criterion 賭馬”,排在前面的基本上都是池某的文章。在這裡實在有責任作一個提醒:Kelly Criterion是一把雙刃劍,不能亂用;使用得當,它是一個收益放大器;使用不當,它是一個破產加速器。



當年John Kelly證明Kelly Criterion時,使用的是以二次derivative求optimal的傳統方法,簡潔而漂亮,有Pure Maths根底的看起應該沒什麼難度。然而當完美的理論應用到處處受限制的現實,問題就很多了。

理論與現實最大的差距是“無限”,數學的偉大是什麼都可以解釋到無限,但人類社會活動包括經濟活動都是有限的。使用Kelly Criterion時,即使對概率的計算是準確無誤,也完全有可能在幾次交易之後輸掉絕大部份的資本,理論上這並不是什麼問題,只要再經過無數次交易,最終還是能回復到理論值的結果。問題是現實中並不存在“無數次”交易,只要資本跌至低於最低注碼要求或一手股票的金額,就相當於已破產,翻身無望。

故此,經濟學泰斗Paul Samuelson始終對可以令人隨時破產的Kelly Criterion嗤之以鼻,認為是歪理邪說,並一直對之痛毀極詆。

Kelly Criterion後來在某些領域獲得成功驗證,主要是使用了概率論裡的大數法則(law of large numbers)去解決上述的“無限”或“無數次”問題,例如Edward Thorp在賭場一局接一局地賭二十一點,William Benter在香港的馬場一場接一場地賭馬,都是以不斷重複下注的“大數”,使結果接近理論值。

但要注意的是,無論是Edward Thorp賭二十一點還是William Benter賭馬,Kelly Criterion都只是輔助工具,並不是什麼可以贏錢的神奇公式。Edward Thorp贏錢的關鍵是其數牌優勢,William Benter贏馬的靈魂是其logit model。

既然談到“無限”,有必要說多一些。Kelly Criterion裡的“無限”要求,並非財演大師那招“無限補時”,而是無限交易。如果是所謂價值派那種Buy and Hold操作,只做一次交易,相當於只賭一舖大細,Kelly Criterion根本無用武之地。故Kelly Criterion早期在股票投資領域並不流行,特別是James Simons那種一秒鐘交易數十次的高頻交易出現之前。

Kelly Criterion流行不起來的另一個原因,是這條公式雖然看起來簡單,代入預期回報率和機會率就能得出注碼比例,但實際上我們遇到的賭局都不會只得一個選項那麼簡單,只要出現兩個以上選項,就無法以加減乘除計出最優比例,需要解多重積分的專業知識,才能寫出計算比例分配的Kelly calculator。

Kelly calculator又分兩種,第一種是賭馬的情況,無論一場賽事有多少匹馬上陣,所有馬匹的機會率總和是1,其結果也是互斥的,最終只會有一匹馬勝出;第二種是賭波的情況,很多場波球同時進行,它們的機會率是各自獨立的,賽果也是可以多變的。

第一種情況還算比較容易處理,有較多的條件可以利用,池某多年前就曾屙尿撞棍地撞中一條捷徑,繞過那些煩人的多重積分,寫出了比《計得精彩》隨書附送版本更快更穩定的Kelly calculator,計算14隻馬的“獨贏”注碼,瞬間就能出結果。且能不斷增加選項,即使計算有91個選項的“連贏”注碼,也只需兩三秒時間。

第二種情況就沒這麼簡單,就算避得開多重積分,每加一個選項,也少不免要加個loop,其間還有越來越龐大的排列與組合問題需要處理。池某當年絞盡腦汁,用以近兩個星期時間才成功解決。

要將Kelly Criterion應用於股票的注碼分配,無疑屬於第二種情況。故此,若想知道一個人是否真的研究過Kelly Criterion,還是現學現賣、濫竽充數、招搖撞騙,最簡單的做法就是以第二種情況作試金石,是龍是蟲一試就知,真的假不了,假的真不了:list出20隻期望回報和機會率都不一樣且都是正expected value的股票,如何計算這20隻股票的最優注碼比例?如果沒作過認真研究,別說20隻,計2隻都很大機會計錯。


後記:

池某寫這篇文章時,基本上是一氣呵成,沒有停頓過,但同時內心是幾經掙扎的。一方面,作為在市場內搵著數的小賭徒,池某非常樂見抱著無用工具、使用錯誤方法的水魚衝進市場引頸受戮;另一方面,作為一名曾經的數學老師,看到數學知識被人如此曲解,而這種謬誤還要被傳播,心裡實在不是滋味。

池某過去從不在意自己的文章有沒有人看,但希望各位blog友方便的話可以幫忙轉發呢篇,多一個人看到,未必多一個人獲救,如果能讓盲從羊群、頭腦發熱的人停一停、想一想,已是萬幸。

306 則留言:

  1. 池兄真才實學,能最好地演繹kelly criterion的投資者,非你莫屬:)

    至於阿大師...可能要佢用擲硬幣、解釋如何用Kelly criterion來分注本金,也有難度了吧~

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    1. 用擲硬幣解釋Kelly criterion唔易架,如果同時擲20個硬幣,每個的賠率和概率都不一樣,就會同文章裡那道題一樣咁攞命。

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  2. 其實價值投資者用Kelly Criterion的確幾好笑。

    相信可能係見池兄的博客火紅,知道有市場,所以又打算用來開班搵食吧。

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    1. 係好笑。池某都好好奇「無限補時」同「無限交易」可以點樣共冶一爐。
      另,池某個blog唔火紅架。呢度冇野教,冇野學,冇大師,冇學員,冇吹捧,冇權威,百無之地,只有同blog友的互相砥礪同互相虐待,唔係咁多人受得。XD

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    2. //池某都好好奇「無限補時」同「無限交易」可以點樣共冶一爐。

      有無限金錢咪得囉!

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    3. 簡單黎講,大師班係讀書分享會,讀完一本書見到d好似好勁嘅野就加入課程分享。問題係佢睇概通常係d蜻蜓點水專俾大眾睇嘅書,如kelly呢d牽涉數學嘅書,其實應該係搵番一堆專業嘅數學書或paper去研究,一知半解不如唔好知,否則如池兄所講係好危險。

      對於大眾黎講,用以下較簡單嘅資金管理策略便可:
      1) Fixed Dollar Amount
      2) Fixed Risk per Trade
      3) Volatility based Position Sizing
      網上大把呢d免費資訊,使咩報讀書會,要人讀俾你聽?(而且內容仲有機會錯)

      不過以上策略牽涉止蝕,又可能唔岩「無限補時黨人」用......

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    4. 補回link:
      http://www.quantshare.com/sa-411-5-position-sizing-techniques-you-can-use-in-your-trading-system

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    5. um......補多句。
      同時資金管理策略又要同你嘅投資策略匹配,所以又唔好見到就用,先諗清諗楚自己嘅策略係咩,再諗下應唔應該用以上技巧......

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    6. average true range, static re-balancing, 1/n naive wager

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    7. 邊有咁複離,人地只需估下賠率估下概率身家就爆升。XD

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    8. Wanderer師弟,師兄我尋晚睇金庸,見到有一門神功叫「九陰真經」,頭先又睇到一門絕學叫「降龍十八掌」,你師兄我對任何神功絕學只要一睇個名,加兩分幻想、三分亂估,即全盤掌握,你想唔想學?今晚教你丫,記得磅水先喎。

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    9. 流星你終於出現了,可喜可賀!

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  3. 股神應該有用Kelly criterion來分配投注,但實際上如何應用是個迷,池兄有見解,何況股票回報期望值和機率是相當個性因素。

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    1. 股神是有用Kelly criterion的,巴郡每季的交易紀錄都水蛇春咁長,好多都係增持減持平衡比例,絕非簡單的Buy and Hold。

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    2. 魔術師提到合理估值ODD和機率EDGE用checklist是較好方法之一。本身checklist 和估值有相關係數,而估值有多種假設,某些假設如未來現金流模式明顯對新興行業發展模式有大偏差,而checklist問題組成對得分-機會率評估有重大影響,似乎難有統一模式,在這部份完成前,方可談到Kelly 公式吧。

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    3. 機率靠估還說得過去,連賠率都靠估基本上係死路一條。
      如果賠率估估下都冇壞,池某又使乜勞師動眾搵IT人寫個app去勾馬會即時賠率?

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    4. 池兄,賭馬可能已經進入賠率也要估的年代,能愈準確預測率者愈大優勢。

      HG

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    5. 哈哈。明白你的意思,不過要估o岩賠率恐怕比估中頭馬更難。

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    6. 只有大庄才有可能真正掌握,的確難。以MLR為基礎再加自動化亦需要加上回扣(或其他賠率優勢)才有機會與大鱷一戰!

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    7. 不必同大鱷決戰。只要市場上那種概念模糊、一知半解、乜都靠估的水魚足夠多,就有搵食空間。Edge是客觀存在的,不是估出來的。

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    8. 市場生態本來就是這樣。

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    9. 雖然Edge是客觀存在,但要搵到,談何容易,池兄和其他blog友尋找倒的edge是得來不易。揾到的又是一另種edge。

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    10. 如果大家一同找到就大家都沒edge了,過程就像那些啡綠格。:)

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  4. //1 賠率我理解為合理估值 Odds= (目標價格+股息)/現時價格
    //2 機會edge =中了多小個checklist要求。(不需要全中,以得分作爲機會率)

    Kelly 的賠率,是客觀的,不就observer的主觀意識而轉變;但大師的理解明顯係主觀的(即使以同樣的價位買入,你和我的odds 和edge可以不同)...

    仲有如果開唔出(1)的賠率,即是又繼續無限補時,賭局永世唔開牌...

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    1. 想要幾多倍就有幾多倍,咁使鬼kelly咩,隻隻訓身就得。

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  5. 池兄你好,閣下文章令在下獲益良多,有一些題外話, 望池兄能指點一二.
    小弟是新手,最近在試做MLR,用的variables都是一般馬會網站找到的資料,但出來p value全都大於0.05,個別還大到0.99,效果相差千里,因為小弟datebase暫時只有200場左右,請問是variables錯還是採樣真是太少呢?
    P.S 小弟用STATA

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    1. 200場data應該是太少了,根據Bill Benter的說法,有1000場data左右點都可以做到一個似樣的model。

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    2. 謝謝池兄指教!小弟現在是用人手一筆一筆輸入...打到想叫救命:(
      另外我現在是把ln odds放在同一個model來用,發現嚴重影響整個model準確性,煩惱之際無意中在閣下的版裡看到一個two steps model的文章,躍躍欲試.
      但無奈不太明白裡面所說的 parameters alpha 和 beta 具體應該怎樣求,不知池兄可否指點一下迷津,感激不盡!

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    3. two steps model:
      第一步,用自己做的model,搵出所有馬的機率。
      第二步,用用自己做的model的結果,同odds再做一個model。呢個model只有兩個parameter,一個叫alpha,代表你自己的model,另一個叫beta,代表odds。

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    4. 明白,多謝晒.
      但例如今季才開始做model,根本不可能計到開始時的機率,因為要儲到一定場數才能generate到參數,要到今季過後,用整季的資料來generate一堆參數用來計下季的機率,到下季機率又儲得差不多時先可以用整季所有馬的機率來generate個alpha來做two steps model,池兄,這樣理解對嗎?

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    5. 馬會網站和蘋果馬網都有多季賽績連同賠率,做大路的factor已夠用。

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    6. 恕在下又插個隊問一下, 小弟亦係用2 step model, 但係發現左一個現像,就係賠率熱既馬,例如少過2點幾倍既,一Combine左自己既expected odds就會變得更熱,冷既就會更冷, 搞到原本計到值搏既變成不值搏,相當頭痛, 請問池兄有何高見?

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    7. 插嘴問問THOR兄, 你在step two regression時...odd 的chi square會否偏高???

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    8. 會, 計出黎的chi square誇張地小

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    9. 我也有同樣情況..但我是chi square出奇地偏高....摸不著頭腦...請池sir 解答.

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    10. 回thor兄:
      這是正常的,logit model的概率分佈是double exponential distribution,係會尖的更尖,平的更平。
      你應也會留意到,這樣你本來應該輸的注碼也會輸少很多。

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    11. odds的chi square出奇地偏高問題,即係你本來的model準確度不如公眾賠率。

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    12. 池兄如果第一步regression時就把odd加入model內,可否有效解決此問題???

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    13. 不能。只會被其中一個model dominated了另一個。

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    14. 多謝池兄一言驚醒夢中人

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    15. 哈哈。池某經歷過呢D失敗先敢講得咁肯定。

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    16. 謝謝池兄指教,小弟現在亦正在被其中一個DOMINATE左,仲頭痛緊,相信係EO仲未計得準確所致

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    17. !!!!odds的chi square出奇地偏高問題,即係你本來的model準確度不如公眾賠率。!!!!

      池兄.如自己的model不如公眾賠率準確,但因為會把兩個model combind,結合後會取各取兩個model的好處,能增加命中率。 

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    18. 說過很多次了,一定要突破命中率這個思維誤區,不要追求命中率。
      如果自己的model遠不如公眾賠率準確,無論怎樣combine,都是要輸錢的。

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    19. 不好意思, 想插一下嘴請教.
      本人是用one step model, 因為two step model人力物力上做不到,
      現正面對著被賠率影響很深的問題, 其實理論上是不是只要本身模型樣本夠多夠準, 然則就算是one step model也不會被賠率影響得那麼慘?

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    20. 1.two step model不會增加太多工作量,因為第二個model只得2個variable。
      2.本身model夠準是會令賠率的比重下降的,但那是整個model與賠率的比較,若把賠率放在model之中,是沒有任何一個factor能與之匹敵的,一定會被賠率dominate左。

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    21. 不會增加工作量?
      two step model首先要有所有馬的機率, 比如有1000場數據就要先計算返這1000場裡所有上陣馬的機率, 再用這1000場每隻馬的機率generate一次得出一個參數, 然後再同果1000場的賠率夾埋計.
      問題是要先重新計回那1000場所有馬的機率, 這才是令本人不知從何入手, 請問是這樣做嗎? 還是本人根本理解錯了, 請池兄糾正.
      本人也是沒辦法才用one step model放埋賠率下去...

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    22. 理解完全正確。
      直接用excel function或者用.Formula,話咁快計完。loop都唔駛行。

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    23. 池兄有個基本問題我請教一吓你. 我係用勝率代表騎師,每一埸賽事後騎師勝率都會有變化.database內所以騎師的勝率會一同更新.還是舊的數據會freeze佢.不受新成績影響? 謝謝...

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    24. 但假設手上只有1000場數據, 要計回此1000場馬的機率, 就要再借助對上多起碼1000場的數據才能算準確點...這問題又該如何解決?
      還是如果手上只有1000場, 就只能用來做準備計下個1000場馬的機率, 如是者就是手上要非常多數據才能踏入two step的門檻?

      此外池兄提到用excel function可以計返以前1000場的機率, 請問大體要按哪裡? 因為本人的excel只是打晒所有場次的raw data而已, 並沒有逐場分.

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    25. //係用勝率代表騎師
      要更新,不能做每場,至少每個賽日後要更新。騎師勝率變化可以很大,韋達近年的勝率就遠不如前幾年。

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    26. //用excel function可以計返以前1000場的機率
      將統計軟件搵到的Parameter Estimate擺落excel,對應返原本data,用SUMPRODUCT就得,但逐場分是必須的。
      手上有多少場data就計多少場,沒有門檻的問題。當然data需要不斷更新的,不能用上一千場去預測下一千場。

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    27. //要更新,不能做每場,至少每個賽日後要更新。騎師勝率變化可以很大,韋達近年的勝率就遠不如前幾年。

      例如騎師A, 賽後他的勝率由10%->11%, 我EXCEL SETUP逢騎師A
      就會由10%更新到11%(包括過去的賽日) 這做法有錯嗎???

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    28. 多謝池兄
      今晚就試下

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    29. 1000場好小兒科o者。祝成功。

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    30. 祝池兄越羸越多!
      問多一句用原本1000場搵到參數再在果1000場裡計機率, 不是說同一組數據不能用來計返同一組機率嗎?

      而且那1000場果個參數是未發生的事件(相對於1000場裡的第一場而言), 不會有衝突嗎?

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    31. 那應該是針對做R^2 test而言。
      這裡做的是把整組機率當成一個參數來計算。

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    32. 原本如此
      真要謝謝池兄耐指點我這一知半解之輩.

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    33. 一齊討論o者。池某說的不一定是對的。

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    34. 邊討論邊指教 哈哈
      其實要試一個參數有沒有效, 大概是要用多少場才能真正測出呢?

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    35. Bill Benter講過,1000場左右的數據已夠做一個大致有效的model。

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  6. 認同池兄所言,口說無憑,還是讓該位人兄先出成績來吧。

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    1. 唔使成績。計得出文章裡面條題就證明真係識。

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  7. 奈何很多人都不會明白law of large numbers的概念. 所以很多人唯有個人心理主導, 持股不停蝕就無限加時. 如果升少少就即刻賣出.

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    1. 市場上真的很多買一注大細又話用kelly、買一隻股票又話用kelly這種一知半解、東施效顰的水魚,如果他們誤解埋large number就更加正了。XD

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  8. 我有一半認同Paul Samuelson說Kelly是歪理邪說, 特別用在賭馬, 用這個做例子f = (p*o-1)/(o-1)
    Kelly的第一個前置條件是expected net winnings > 0, 本人嘗試過做了一個實驗, 發現expected net winnings最少要多0.2才能穩定地正數, 第二個重要條件是命中既頻率要平均不能有太大偏態, 即不能成日輸.

    而最關鍵的一點, 就是個P的準確度, 如果P是機率包的平均數, 那個標準差或偏態已經足以摧毀整條公式.因為這個公式是計正不計負, 輸打贏要的...

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    1. 河馬兄亦有道理,但方向應是如何補救Kelly 可能出現的缺陷。

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    2. 很多人以為直接把賠率和機率代入這條公式就是在使用Kelly Criterion,實際上無論賭馬、賭波,還是股票組合都是不能這樣直接代入計算的。就如文章裡那條題目,即使把股票數目減少到2隻,大部份人都是會計錯的。
      要成功解決multi Kelly和simultaneous Kelly的運用,才算是真正在使用Kelly。

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    3. 如果要用Kelly用得好, 首先要解決個P的準確度, 但如果搞得掂個P, 已經唔需要用Kelly.

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    4. 如果可以解決p,用不用kelly都能贏錢,但用kelly效果會最好;如果p是錯的,用kelly只會更衰。

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    5. 你有無考慮過封頂問題? 例如一場馬的獨贏, 你最多可以投注幾多錢? 佔彩池幾多變無著數?

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    6. 池某未去到beyond兄數百萬當係碎銀的層次,未諗到咁長遠。

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    7. 上水河馬2016年12月13日 下午6:51

      【你有無考慮過封頂問題? 例如一場馬的獨贏, 你最多可以投注幾多錢? 佔彩池幾多變無著數? 】

      google translate:

      [1]使用賭注池的大小(沒有你的賭注)和百分比抽水,確定新的賠率是如果你做出的賭注
      [2]使用這些新的賠率,重新計算最佳下注大小
      [3]如果最新的下注尺寸與先前的下注尺寸明顯不同(在舍入到當前的下注單位之後),則使用最新的下注尺寸返回步驟[1]

      上述過程“收斂”給定資金和池大小的最佳下注尺寸,假設初始下注不夠大,不足以使得賠率不盈利。

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    8. 如果一場買10-20萬, 已經可以影響差價的回報率, 所以做唔到無限擴大這一點...

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    9. 個pool始終有限,唔可能無限擴大。

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  9. 剛讀完Lecture 2: The Kelly criterion for favorable games:
    stock market investing for individuals https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/157/Slides/lecture_2.pdf
    結論是:I’m not going to discuss whether you should invest in the stock market at
    all. If you choose to do so, here’s the academic viewpoint.
    The default choice is (something like) a S&P index fund, available with very low expenses.
    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    If you really want to do better then there are three vaguely plausible ways
    none of which I recommend.
    Borrow money, if you can find a low interest rate.
    Diversified Kelley-optinmized portfolio, like IFA.
    Long term market timing such as the Shiller PE ratio [show

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    1. 余兄這種廣泛了解的精神很可取。
      江湖術士一葉障目以為執到寶,自食其果是咎由自取,害埋其他人又於心何忍?

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  10. KELLY的條件我就睇唔明了,不過原來池兄曾是數學老師!
    "阿SIR,呢條數點計呀?"
    "放學到保健室搵我!"

    GOOD~~~BYE~~~SIR~~~~

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    1. 放心。池某係攞正教育局permit的,絕對唔係冇牌開班。

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    1. 一般來說,看到江湖郎中賣假藥,即使無效,只要無害,還是會寬容對待的,人地都係搵食o者,最多是調侃幾句而已。但看到在藥裡錯加了可能有毒成份而其本人又懵然不知,是否還能無動於衷呢?

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  12. 因為我著實是不吐不快,別人要用當然不關我事,但教人用以致富就是另一回事,所以才打了幾句希望有意了解的人多作了解才作決定。

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    1. 是的。如果是一些無益也無害的基礎知識,大家笑笑就算了。數學問題,啱就係啱,錯就係錯,識就係識,唔識就係唔識,冇可能明明唔識亂估一通就當係啱左。

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  13. 即使大師本人真係識計,但是開班授徒的目標卻是以為聽完照做即可的伸手式信徒,很難想像大師要如何在短時間內教會一眾信徒計掂哩條數……

    快餐人上

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    1. 識計?那不是加減乘除或excel + 計數機所能解決的,寫program都要用很多個loop,且受很多限制。以為用計數機可以計啱的肯定係唔識。

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  14. 睇BLOG好過上堂, 謝謝池兄!

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    1. 當係功課試吓做先……

      (0.8 × 1.98 - 1)÷(1.98 - 1)
      池sir,所以應該每次押注60%本金嗎?

      快餐人上

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    2. 唔好意思,想回下面唔小心回咗上黎…… >_<

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  15. 想請教池兄一個例子
    假設我去賭場玩大細, 先make 個assumption, 只得大細
    但係不論大或細, 都係1賠0.98, 姐係買100, 賠98蚊
    好喇, 假設賭場無出術, 姐係話50/50啦

    e+當我得到叮噹法寶, 我有辦法維持住80% 買中
    問題係
    我有1000本, 佢min 100蚊1鋪
    1) 我應該點計, 每一鋪買幾多, 先達至最高穩定回報?
    2) 同時, 我因為都仲有20%係會輸, 咁我要連輸幾多鋪先會輸到唔夠錢買?

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    1. 多謝回覆! 呢個都係我計出黎咁
      1000 x 0.6 = 600 (輸)
      400 x 0.6 = 240 (輸)
      240 x 0.6 = 144 (輸)
      144 x 0.6 = 86.4 (已經無得玩嚕)

      咁其實就算我有8成命中, 都係無用, 只要連續出錯都係死?
      咁其實如果要有最高穩定回報 同埋 我仲可以係呢個遊戲入面有份參與
      本身呢兩樣野係有衝突!? right?

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    2. 計錯左添
      1000 x 0.6 = 600(輸)
      400 x 0.6 = 240(輸)
      160 x 0.6 = 96 (已經無得玩)

      原來我連輸兩鋪, 已經無得玩
      但係我有8成命中都無用, 輸輸贏贏贏贏贏贏贏贏...呢個pattern 係唔會出現.....

      刪除
    3. 比例計算多謝快餐人兄在樓上代勞了。
      匿名兄出呢題真係用心良苦,說明即使擁有叮噹法寶般的概率優勢,使用Kelly Criterion也可能在三舖之後就輸爆廠,1000*0.4^3=64,不足100元。更何況賠率和概率都靠估的情況,後果就更難想像了。

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    4. 應該按左層樓套現幾百萬黎玩呢個GAME! XDD

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    5. 抵呀!增長無限喎,幾百萬同無限相比只係九牛一毛。XD

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    6. 【1) 我應該點計, 每一鋪買幾多, 先達至最高穩定回報?】

      這里有一些計算器,可能會啱你用。。。
      https://www.qfit.com/blackjack-online-calculators.htm

      另外可以做電腦模擬來試出需要的注碼。

      玩二十一點的優勢玩家,喜歡用翻本/輸清的比例來評估風險,例如5%的風險率。
      設定注碼和下注模式,做電腦模擬,可以知道翻本/輸清的比率。

      如果注碼不能夠無限細分,按照kelly計算出來的,必然overbet,問題只是overbet幾多。
      很多二十一點的優勢玩家,會用1/2kelly,1/4kelly,... 之類的,來避免overbet。
      二十一點專家們,尋求注碼分配時,也多數以電腦模擬作準。


      廿一點/大細,可以容易地電腦模擬1億手,來統計翻本/輸清的比例。賽馬一般以真實記錄來做模擬,樣本不多。馬的勝出機會率,也絕對沒有計算大細機會率來得準確。

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    7. 各位blog友有福了。
      Kelly Criterion使用不當會變成「害你公式」。
      macaupro兄是使用Kelly Criterion搵食超過30年的職業賭徒,怎樣取Kelly有利部份而防止其輸爆廠之害的心得絕對是寶貴的。

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    8. 其實可以用類似限回報方法賭...原理跟KELLY類似, 如果你估算20%機率WIN, 而你有10000本金, 可按一定比率, 例如1/4為目標即2500元, WIN 就買$2500*0.20=$500蚊. 當然賠率一定要多過1/20% 即5賠之上啦..可能是6賠-7賠...待本金增加一倍後再作調整..
      這方法...會比平注表現好, 穩定性會比Kelly高.

      因為如果用Kelly, 買一隻估算30%既馬但有20陪時, 會好易出事. 因為會用左你25%左右的本金..出現這情況時, 我們很多時是分不清到底是差價還是MODEL出錯. 這個就可以保障系統未穩定前的誤差風險.

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    9. 買馬唔可以就咁用kelly,要用multi kelly,再以1/4kelly、1/8kelly之類下注,是最優選擇。

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    10. Hi macaupro兄
      有賭場問題想向您請教(21點)
      不知是否方便留個聯絡方法
      伏望師兄不吝珠玉 感激不盡

      刪除
    11. 另要和池兄say sorry
      請恕小弟借了池兄blog的吸引力 在池兄地頭喧賓奪主

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    12. 哈。交流平台就是這樣用的,不用客氣。

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  16. 話時話池大俠,你點從“巴郡每季的交易紀錄” 就推論出巴郡/先知有用KELLY CRITERION?或問:如何從一份事後所見的交易紀錄而確切知道操作者有用KELLY?

    純學術討論. 抽水唔岩我 XD

    [quote]
    股神是有用Kelly criterion的,巴郡每季的交易紀錄都水蛇春咁長,好多都係增持減持平衡比例,絕非簡單的Buy and Hold。
    [/quote]

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    1. 哈。呢句表述確是有問題,交易紀錄只能說明股神不是賭大細般Buy and Hold,並不能作為證明他有用Kelly的充要條件。改成這樣說會好D:

      Edward Thorp說過股神是有用Kelly criterion進行投資的。巴郡每季的交易紀錄都水蛇春咁長,好多都係增持減持平衡比例,絕非簡單的Buy and Hold。

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  17. 凱理定律可計出risk of ruin...我覺得作為正ev賭戲投資是必須的

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    1. 是必須用kelly的,正確使用更是必須的。

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  18. 您好池先生,最近一個月我埋頭苦幹地建構自己的賭馬模型,當中有幾個問題想不通望池生賜教;
    一.我發現有些covariate的chisquare過高(例如騎師的chisquare超過二百,其他covariate只係雙位數,SIG.RR都正常)是正常情況嗎???
    二.我追看上文留言.看到有關two step model.如果chisquare越高代表數據越重要.那麼在two step model裹.我自己model的chisquare相比real odds高就表示有優勢???
    祝池生長賭長勝.

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    1. 1.騎師是一個很significant的factor,chisquare較高屬正常。
      2.可以這樣理解但並非必然。一來自己的model未必是很穩定的model,二來如果歷史賠率只是倍數而準確的派彩也會影響結果。

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    2. 馬真的越來越難賭...好辛苦才比real odd有些微優勢,但有幾個covariate不太穩定....池生你多唔多用合成covariate. 我個人應為用大路factor要戰勝市埸不容易...要轉轉灣動動腦筋發掘新的factor才有些微優勢.

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    3. 合成factor當然是少不免的,要找幾十個獨立factor難度太大了。

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  19. 首先謝過池兄無私付出,因為顧教授的新聞原故,開始接觸此Blog,獲益良多。先介紹一下自已,年過半百,賭足三十多年,投注地方由2蚊中場席,到家中只跟貼士網上投注,輸錢情況未有改變,一樣輸足三十年幾年,好彩本人有一份不錯的正職,否則已經沒了。直至遇上池兄的文章,下定決心以MLR方法計馬,今年才第一次出現正數,感謝並感恩。留下心聲為池兄加持一下。

    另,有一問題想請教。本人以「計得精彩」一書中Kelly 程式作藍本,編寫了連贏 Kelly 。本來單獨運算速度在十秒左右完成,但為進一步自動化,在Excel中連結了自動倍率及Expected Odd 等資料,在相同情況下運行時間增加十倍。不明原因,是否Excel Solver問題?還是程式未夠優化,希望池兄能提供一點建議,先謝。

    本人e-mail: william269269@gmail.com

    老賭徒上

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    1. 謝支持。兄台賭足三十多年,池某要叫聲前輩了。
      程式問題,池某技術方面好水皮(所以下下都要搵IT人幫手),技術建議想必也不會很高明。池某試有些情況是會run得很慢,第一種情況,用Solver確實是會慢過不用Solver很多,運算量越龐大越明顯;第二種情況,所運行的Excel版本若與原先所寫的版本不一樣也會明顯偏慢。「計得精彩」那個藍本應是Excel2003版本寫成的,若後期的再加工用Excel2007或更新的版本做,run起來也會出奇地慢,池某都唔知點解。

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    2. 多謝池兄回覆,會繼續研究及努力學習;做左「豬」這麼多年,真係有點累o

      老賭徒上

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    3. 客氣了。賭馬真係「勞動收入」,唔係「被動收入」。要落手落腳去砌,唔可以靠幻想、搏彩數。

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    4. 班門弄斧下先
      解決辦法1:
      分2個excel files 要用solver的放在1個 記得不要有link data 唔用solver的放在第2個 要計數就copy and paste落第1個file
      開啟時先單獨按microsoft excel的icon 2次(不要直接將file開啟) 此時會有2個excel 將2個files 各自拖進不同的excel內
      Solver的運行速度便回復正常

      解決辦法2:
      自己落手落腳寫個唔使solver既kelly 藍本可以跟wikipedia

      最後買連贏當然是自動下注的問題 前幾篇師兄們有過熱烈的討論 應該跟住做就冇錯

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    5. 謝過Perer兄,會繼續測試及改進。同意沒有自動下注程式,基本上不能執行連贏Kelly, 太大壓力了!出錯機會比Model還要高。

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    6. 按Peter兄建議,已改善了Kelly 運行速度,謝謝!最後一關是自動填寫注項,這關確實絕不簡單,依IT兄建議,用iMarcos試過,但不知什麼原因iMarcos未能控制投注金額:(

      老賭徒

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    7. 可以自動控制金額的。
      不過池某只係個IT白痴用家,具體邊部份控制都係一頭霧水。

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    8. 多謝池兄,建構這計馬工程,令我獲益不少,好似打機一樣過完一關又一關。無論這Model準確與否,已經滿足非常。對學工程的我,才知道「書到用時方恨少」

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    9. 成套動作真係一個系統工程,兄台贏在起跑線也。

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    10. 已成功完成自動填入注項程式,爽!但新的問題又來了,就係對一些賽積少的新馬及老退的舊馬有偏向性,新馬EO太高,舊馬太低…這可能Model沒有晨操及試跑的因子,我想這是大部分一人公司的共通問題…資源太少了。建設計馬工程,要不斷更新不斷loop。完全自動程式後,又再重新起步再loop過。

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    11. 新馬EO高舊馬低還算正常啦,畢竟新馬會進步,老馬好少打疊贏。

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    12. 想問下邊度買到[計得精彩]? 我見商務都已經無返貨..
      謝謝

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    13. 好像沒有再版了。其實好書真不愁沒有市場。

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  20. 小弟想請教一下, 賭FIXED ODDS彩池例如主客和,大細果D, 長線黎講係咪冇可能贏到馬會? 就算有都只係好少好少人?

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    1. 長線?你試下日日贏馬會睇下ban唔ban你a/c?

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    2. ban左的話落投注站用現金買囉, 哈哈

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    3. 馬會作為香港唯一合法賭博機構,如果日日贏錢有機會比人ban ac ?真唔真?馬會可以用咩理由去ban 一個日日嬴錢既ac?

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    4. 贏馬就未必會ban,贏fixed odds即係搶馬會錢。

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    5. fixed odds 作為投注者,買之前己經抽左水,點解係搶馬會錢?
      姐係主客和,大細,單雙,個d就係fixed odds?如果狂嬴就係搶馬會錢?
      咁似澳門賭場d老虎機既,輸得得,嬴就喊打喊殺?

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    6. 冇可能狂贏,賭波每張飛派彩是有上限的,無論你買幾多錢。

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    7. //fixed odds 作為投注者,買之前己經抽左水,點解係搶馬會錢?
      姐係主客和,大細,單雙,個d就係fixed odds?如果狂嬴就係搶馬會錢?//

      唔同大部分賽馬彩池(pool), fixed odds係同馬會對賭
      如果你不停贏莊家錢, 莊家唔受你玩絕對正常

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    8. 咁姐係有叮噹法寶長期keep住80% 命中,但係玩fixed odds 都無用?

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    9. 首先你要計埋得到叮噹法寶的機會率,然後再乘命中率,再乘賠率先知道EV係正定負

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  21. 請教下池兄
    係咪任何賭錢既野 expected return 計到係正數就值得去玩 ?

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    1. 符合大數法則才是,一舖過或沒延續性的賭局看EV的意義不大。

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    2. 多謝池兄解答 因為我上大陸討論區見到有個人出讓球心水 出左成千場 命中率有六成多啲啲 平均賠率約1.9 咁樣值唔值得一試 ?

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    3. 六成命中包唔包埋走盤先?包埋走盤未必有著數。

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    4. 睇命中率得六成多啲啲好似好普通 不過用凱利一計 個利潤就不得了

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    5. 唔計走盤 淨計贏輸 贏半輸半都包埋 不過兩者比例應該差唔多

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    6. 包埋贏半都未必有著數,需要計到好細。

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    7. 好的池兄 ^^ 我再觀察一下

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    8. //...因為我上大陸討論區見到有個人出讓球心水 出左成千場 命中率有六成多啲啲 平均賠率約1.9...//

      首先要香港有得買(如果你係響香港買波), 再者外國莊家抽水位比馬會低, 大陸贏唔一定代表香港贏

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    9. 關鍵是贏半的賠率已不是字面的賠率。

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    10. 贏半的賠率已經是要將小數點後的賠率除以2才算實際賠率
      如果出貼士咁勁, 不如收埋自己食?

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  22. 池老,請問,我數學只有中五程度,要看甚麼書/論文/課程 加強數學/統計學/微積分 等等的基礎?

    我看了哈佛大學的 統計110 頭幾集 及 部份課程內的家課,發現自己很多名詞也不懂,課程已經是入門級,自此我發現相當大鑊。

    如果不惡補一下 數學知識,想不做港豬也難。

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    1. Peter Pan兄曾作過好介紹:
      https://www.khanacademy.org/math

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    2. 可汗學院相當有名。現在我先去惡補一下,如果數學上遇到問題再請教各位。

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  23. 唔打唔撞有幸路過此地,爬完一輪文,獲益良多,以後多多交流!
    由於小弟電腦知識貧乏,只能運用一般EXCEL技能,用最近3季DATABASE加晨操DATA,簡單計算各駒機會然後下注。見到BLOG主及大家的技術,小弟真係自嘆不如!

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    1. Blog友們藏龍臥虎,池某都係自愧不如架。

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  24. 池兄可否提供馬會即埸投資額和賽果的XML link嗎???? 謝謝...

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    1. 噢,池某只知道幾個常用彩池賠率XML,其他的並不清楚呢。

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  25. 池sir
    想問如果計算出來馬匹的勝率很高, 但eo少於ro一點, kelly不建議投資,
    有時想用來做膽又怕蝕, 但不常又真的跑出, 這種情況應如何處理?

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    1. 馬匹的勝率很高但eo少於ro一點, kelly會建議投資的,雖然結果只是打和甚至要輸少少。
      記住一定要用multi kelly,不能聽大師們亂講直接用kelly公式。

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  26. 純訴苦...為何已找到27個有效參數,但beta的chisquare總是比alpha高(234:201)真令人苦惱

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    1. 小心有些合成參數可能是假有效,假有效參數很難撼動beta。

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    2. 多謝池兄鼓勵 :-), 但何謂假有效參數???有些指標離奇偏高/低???

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    3. 可以學樓上君子兄那樣把賠率擺落第一個model,然後逐個參數刪掉run一次,如刪掉一個參數後賠率反而沒那麼significant,那個就有可能是假有效參數。

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    4. 多謝池兄和君子兄意見,我把賠率放落第一個model後發現一個怪現象,原本significant的参數會變成沒有significant.我估計是賠率dominate了整個model.,還是沒那麼significant的參數就是假有效參數???

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    5. 相反。越容易被賠率影響的,越大機會是真有效。

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    6. 之前看過那篇比較文章說, one step 最大問題是被賠率dominate, two step 的數據效用就是有時間限制(如果沒理解錯的話), 其實為什麼two step會有時間限制呢?

      文章說2種都各有好壞, 以大家的經驗其實那種較切合實際需要呢?

      又或者聽過有人是不用放賠率, 單靠fundamental variables就可搞定,
      其方法又可否改善被臨場大量落飛誤導賠率來騙大眾的手段影響呢?

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    7. one step不應加入賠率,否則越有效的參數越容易被賠率「消滅」。
      於是two step在理論上變得較合理,因為它包含了原本想不到或做不到的參數在內,且可在一定程度上應付落飛問題。

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  27. 補充發問. 應該這樣說. 我把賠率放落第一個model後再逐個逐個參數刪掉run,發現越少参數.賠率越significant;但有點奇怪..因為所以參數在同一model內會有相關性的問題.如刪掉一個參數間相關性就會起了變化.

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    1. 當然是越少参數賠率越significant,證明這些參數都能有效影響賠率。所以說如刪掉一個參數後賠率反而沒那麼significant,那個就有可能是假有效參數。

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  28. 池兄遇到一場起碼有一半是新馬或跑旖2場的半新馬時, 會group埋計還是會直接跳過果場唔玩唔記錄?

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    1. 新馬賽或3歲條件限制賽只能跳過,但記錄照做。插班新馬直接用賠率當成機率就得,像「知多福」這些都可以照中,唔會錯過。

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    2. 勁!
      咁都可以照中

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    3. 中不代表贏,這只是一種求和的做法,不過四捨五入等誤差是不會讓「和」出現的,結果不是小輸就是小贏。

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    4. 咁又係
      有時中左都只係保到唔輸, 無奈.
      另外馬會速勢系統好似唔係好準, 例如佢估果場慢步速同某幾隻馬快步速, 開出黎完全相反, 放埋入模型度會否影響預測?

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    5. 池某冇放速勢系統入模型,正在嘗試做出一個步速參數。

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    6. 開跑前的步速點估? 同一隻馬每個騎師騎法都不同, 路程又不同,
      池兄可以給一點頭緒嗎?

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    7. 仲未整呢,有D技術問題仲要諗諗。明天跑完馬再諗下點落手。唔肯定是否一個有效參數,要試過先知。

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  29. 祝池兄成功, 步速真係好大影響的一個未知數.

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    1. 失敗了,雖然弄了個parameter出來,但不夠significant。

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    2. 我也有同樣問題有parameter,夠significant,但會影響model中其他参數.池兄遇到這樣情況會如何處理??選新/舊比較好???

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    3. 通常是刪掉Chi-Square太細的或Hazard Ratio太大的。

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    4. 謝池兄解答.另有個問題相信池兄之前都會遇過,同上一條有些類同不要介意,同一個参數以不同型態放入model中,有parameter,夠significant,今次不會影響nodel其他參數,一樣//刪掉Chi-Square太細的或Hazard Ratio太大的// ???
      我發覺把兩個相同的参數放進model內.會把這個參數的優缺點放大.

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    5. 同一個参數以不同型態放入model中,要注意Parameter Estimate是否一個正一個負,以及Hazard Ratio是否一個大於1一個小於1,應刪掉不合理那個。

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    6. 哈哈...池兄果然料事如神...一個是正一個是負 rr ratio同樣一個大於1一個小於1. 我知道要刪掉哪個了.

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    7. 慚愧,不是「料」出來的,是經歷過。

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    8. 池兄關於騎師少過幾次出賽記錄你才會group埋一齊? 我試過用10次,30次,50次,得出的結果對2 step model 都有重大的影響.

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    9. 需要增加有效參數的數量,不能讓一兩個參數dominate了整個model。

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  30. 不知池兄買馬會否過關, 但如果賠率是主耍因素, 那麼可以如何處理過關問題?
    畢竟理論上每場開閘前出手才是最有利的, 不可能預先知道到下一場賠率變化, 還是程式派不會過關?

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    1. 不會買過關。賠率問題是原因之一,但真正的原因是這個:
      http://poolshunter.blogspot.hk/2015/09/blog-post_19.html
      http://poolshunter.blogspot.hk/2015/09/blog-post_20.html
      買馬本來就是一場一場滾下去,由季初過到季尾780幾場,還需要特別去處理過關問題嗎?

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  31. 請問是不是模型裡所有參數都要少於0.05才能用呢? 因為明明一些很大路的 factor單獨時 chi-square較高, 然而跟其他 factors夾起來時 p-value就完全大過0.05, 令我都不知用還是不用好.

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    1. 少於0.05才算significant,大過0.05無關重要了。

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    2. 我分開上季騎師勝率和今季目前為止的勝率, 但不知為何2者不能並存, 同時放到模型2個都比 0.05大.
      單獨放上季還好, 單獨放今季竟然大過 0,9!請問為什麼會這樣, 今季騎師勝率也是 raw data, 怎會如此不significant?

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    3. 因為這是同類的FACTOR,一放入model會撞咗.

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    4. 騎師勝率不能這樣用,要計晒全部。

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    5. 連馬匹勝率也是要計晒全部嗎?

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    6. 池某冇直接用馬匹勝率。因為每匹馬的上陣次數都不一樣,每個班次贏馬的難度也不一樣,這個「率」跨度太大。

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  32. 插嘴問一問.其實要多少個有效factor先可以撼動beta.等我有個目標去完成.現在好似漫無目的的在找.

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    1. 30個factor左右就可以壓到beta,當然要significant的factor。

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    2. 池兄的模型有冇加入晨操資料?

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    3. 冇晨操資料,太難量化了。

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  33. 池兄你好,初到貴境交流下
    寫code寫到頭暈,見你講kelly又吹下水
    我之前有用過kelly睇馬,不過最大問題係閘前賠率同最後派彩差距可以好大
    原本值博率高都變冇肉食,run到都未必追到落注所以放棄用

    另外,handicap model同software用咩 ?
    我之前用lr,而家試緊RF同SVM,data用SQL+SAS,model fitting用R

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    1. 歡迎到訪。
      池某係用MLR model + Kelly Criterion
      用two step model可在一定程度上減輕閘前落飛的衝擊,完全解決則做不到。
      data用EXCEL+SAS。池某IT方面知識較屎,只識呢D。

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