2017年6月23日 星期五

Kelly Criterion的應用

上水河馬兄等blog友在上文的留言中談及Kelly Criterion的使用,特別是對於Kelly Criterion是否適用於賭馬,列舉了不同的觀點,池某覺得要三言兩語說清楚這個問題也不容易,故特別找回發表於《信報月刊》三月號那篇文章,雖然內容與池某過去的文章有部份重複,但尚算是較簡單而完整地說明了Kelly Criterion的來龍去脈、適用範圍,以及應用於不同情況要顧及的問題等等。簡而言之,池某的觀點是,不必把Kelly Criterion神化為無往而不利的賭博公式,也不必偏執地把Kelly Criterion貶為無用之物。用得其所,受用不盡;亂用一通,禍患無窮。


1956年,當時美國AT&T公司屬下的《貝爾系統技術期刊》刊發了一篇題為《對信息傳輸速率的重新詮釋》(A New Interpretation of Information Rate)的論文。60年來,論文的內容一面受到投資者、賭徒熱情追捧,一面被名家、學者無情鞭撻。儘管論文的題目早已被人遺忘,它的另一個名稱卻愈來愈廣為人知,那就是Kelly Criterion。

一篇信息學的論文,卻震動了投資界、賭博界,論文的作者John Larry Kelly應不會感到意外,本來他就將論文命名為《信息論與賭博》,只是公司高層因對形象與道德問題有所顧慮,才要求他更改標題。John Kelly這篇論文的出發點就是要計算怎樣以「不公平」的信息從「公平」的賠率中獲利,而且將利潤最大化。

Kelly Criterion,一般譯作凱利公式,其基本形態是這樣的:f=p/a–q/b
其中,f是投入資本的最佳比例,p是盈利的機會率;q是虧損的機會率,在非勝即負賭局中,就是q=1-p了;a是虧損幅度;b是淨盈利率。

一般來說,在賭博遊戲中,輸就輸掉所押賭注,故a=1;如果採用常用的賠率o代替淨盈利率b,即b+1=o,得出:
f=p–q/b=(p*b-1+p)/b=(p*(o-1)-1+p)/(o-1)=(p*o-1)/(o-1)
就是Kelly Criterion最常用於賭博的版本。

例如,以100元本金玩擲硬幣遊戲。假設每次只能押注一面,猜錯會輸掉注碼,猜中賠率為3倍。這是一個對參與者來說明顯有優勢的遊戲,但怎樣才能以最快的速度贏最多的錢呢?想一次過贏得最多,當然是全數押下去,但這樣只要輸一次就「清袋」了;想安全一些,每次押10元如何?似乎效果又很有限。John Kelly在其論文中證明了,Kelly Criterion就是可以令資金增長得最快的公式。

根據Kelly Criterion,這個賭局每次最佳的投入注碼比例為f=(0.5*3-1)/(3-1)=25%。猜中,本金變成100-25+25*3=150元,然後以150元作為新的本金,再以25%的比例下注。如此類推,資本長玩長有,永不可能是零,可以有效避免「清袋」,又能實現以最快的速度增長。理論上很完美,但是...

回到實際,即使是機會率50:50的賭局,也並非必然賭兩局就會贏一局的,連贏兩局並不奇怪,連輸兩局也不奇怪,連輸十幾局也是可能的。上述例子的賭局,只要連續五次猜錯,本金就將萎縮至100*0.75^5=23.7元;連錯十次,本金就會只剩下5.6元。理論上這並不是什麼問題,只要再經過無數次押注,最終還是能回復到理論值的結果。但在現實中這是個大問題,如果遊戲要求每注最低限額為10元,連輸九次就是實質破產,沒有翻身機會了。

由此可見,即使是有全面賠率優勢的賭局,即使概率準確無誤,使用Kelly Criterion,也是可能使人快速破產的。這是理論與現實的差距造成的,理論可以解釋到無限,現實是人類社會的活動,包括經濟活動,都是有限的。故看起來很美好、用起來很危險的Kelly Criterion一直備受咎病和質疑,經濟學泰斗Paul Samuelson就斥之為異端邪說,據說連作者John Kelly本人在其有生之年也從不曾使用Kelly Criterion贏過錢。

但Kelly Criterion由始到終都不乏支持者,包括推薦John Kelly發表這篇論文的信息學鼻祖Claude Shannon,數學家Edward Thorp更親赴賭場賭二十一點去驗證,並將其橫掃賭場的經歷寫成Beat the Dealer一書,Thorp還透露,年輕時已與他相交的股神巴菲特,也是用Kelly Criterion的思維方式來投資的。把香港馬場當作提款機的大鱷William Benter也在多個場合表示,所有成功的賭馬集團都是按某個比例的Kelly Criterion分配注碼的。

按某個比例的Kelly Criterion下注,就是成功規避「快速破產危機」的手段,例如使用0.5倍的Kelly Criterion,即每次只以半數的Kelly Criterion賭注下注,雖然回報會略為減少,卻能大大降低波動性,大幅降低破產的可能性。不過,這種為安全買保險而捨棄了增長速度的Kelly Criterion,嚴格來說已稱不上是能令資本增長最快的公式,但與其他投資策略相比較,其效果依然是最好的。

2005年,William Poundstone所著一書Fortune's Formula出版,收錄了John Kelly、Claude Shannon、Edward Thorp與Kelly Criterion發展的詳盡故事,一紙風行,使Kelly Criterion成了家傳戶曉的「財富公式」,也使無數投資者和賭徒爭相仿效,但真正能體驗到Kelly Criterion威力的人並不多。原因有二:其一,很多人只是隨大流追逐Kelly Criterion,而誤以為Kelly Criterion就是一條可以創造財富的公式;其二,不少人都「以為」自己在正確使用Kelly Criterion,實際上並不是那麼回事。

Kelly Criterion本身並不能產生財富,而是任何可盈利系統的最優加速器。例如Edward Thorp在賭場賭二十一點,贏錢的關鍵是他獨創的那套數牌技巧,甚至他後來轉戰金融市場,贏得「量化投資之父」的榮譽,靠的也是他自己所創的,比Black–Scholes model更早的期權定價公式;而William Benter賭馬能贏錢,則是靠他苦心經營的統計模型。Kelly Criterion的角色,只是「輔助」數牌技巧和統計模型把其原本優勢發揮得更有效而已。也就是說,如果使用者手上沒有一套具優勢的投資系統,Kelly Criterion也就沒有著力點了。

另一方面,人們之所以經常誤用Kelly Criterion而不自知,是因為Kelly Criterion看起來很簡單,f= (p*o-1)/(o-1),只需代入概率p和賠率o,就能計算出最優投入資本比例f,連小學生都能看明白。但現實中的賽局,很少是如上述擲硬幣的遊戲那麼單純的,例如一場馬,有14匹馬上陣,其中有些需要下注有些不需要下注;又如同一時間有10場球賽開賽,同樣其中有些需要下注有些不需下注,那麼最優的投注比例應該怎樣計算?

把問題簡化一些,當作一場有A、B、C三匹馬上陣的賽馬。假設A、B、C三匹馬的勝出概率分別為0.5、0.3和0.2,而實際賠率為2.2、3.2及2.3倍。如果逐個代入Kelly Criterion,那麼只有A值得投注,投入本金比例f=(0.5*2.2-1)/(2.2-1)=8.33%。

大多數投資者都會以為這樣簡單地把概率p和賠率o代入公式就是正確使用了Kelly Criterion,但這是錯的!試看看同時投注A及B的情況,同時投注A和B,回報是1/(1/2.2+1/3.2)=1.3037倍,A和B兩個選項覆蓋了0.5+0.3=0.8的機會率,故最佳投注比例為(0.8*1.3037-1)/(1.3037-1)=14.15%。

所以這個賭局要投入賭本的14.15%,才能發揮Kelly Criterion的威力,按表面數字直接代入得出的8.33%是錯的。14.15%的賭本如何分配在A、B兩匹馬身上,又產生了新的計算問題。而這僅是一場3匹馬上陣的簡單情況,現實中在香港一場賽馬可多至14匹馬上陣,所涉及的計算量和複雜程度已遠遠超出人力所能應付的範圍,一定要編寫電腦程式才能解決。這等於為Kelly Criterion的使用者設置了一個知識和技術的門檻。

不幸的是,賽馬的情況還是相對簡單的,因為無論一場賽事有多少匹馬上陣,所有馬匹的機會率總和一定是1,其結果是互斥的,最終只有一匹馬勝出,有了這些條件可以利用,對跨過了技術門檻的人來說不算是高難度。至少比計算同時進行的多個獨立賽局(例如一個股票組合或同時進行的多場球賽)要容易一些。

故投資者欲以Kelly Criterion在市場裡尋寶,幾個要點不可不注意:第一,自己是否已擁有一個具優勢的可盈利交易系統?第二,自己的知識和技術是否已經跨過了可正確使用Kelly Criterion的門檻?第三,任何時候都不能忘記,即使所有計算都準確無誤,使用Kelly Criterion也是有可能令人迅速破產的。稍一不慎,天堂很遙遠,地獄在眼前。

160 則留言:

  1. 用一凱固定本金賭。在double bankroll前好像有大約6分1機會破產的。。。也有一半機會經歷本金輸掉一半。。。。如只用半凱理。。double bankroll前破產風險risk of ruin就大幅跌至約60分1。。。。所以風險管理在使用kelly時也是極重要的

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    1. 唔知有冇記錯,好似用1個Kelly係在資金翻倍之前有1/3機會資金減半,half Kelly則是1/9機會。

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    2. 不過賽馬賠率變動咁大。。用緊10分1kelly最終都可能賭緊1凱理咁大風險了。。。

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    3. 是的。1/10個Kelly波動亦很大,已經很極限了。

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  2. 最忌以為自己已經學得真傳,點知衰左先知所學的僅是表面。

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    1. 哈哈。其實池某所學的也很表面。

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  3. 天才...
    問題出係個"O"度呀...我無氣啦...

    牛頓得意洋洋地四處講解他的力學公式, 偶然在網上被愛因斯坦見到.
    愛因斯坦: 你條公式有少許問題!
    牛頓: 你識條春咩, 等我再講解多次你知,....(省一萬字)
    愛因斯坦: 速度要修正呀! 牛生
    牛頓: 你識條春咩, 等我再講解多次你知,....(省一萬字)
    愛因斯坦: 相對呀! 牛生
    牛頓: 阿基米德同伽理略發表過咩咩咩論文, 而我既力學公式已經將他們的理論改良.....愛師兄你唔明既話, 我再講多次你知啦.
    愛因斯坦: 你岩晒...多謝指教.
    牛頓: (心想) 點解愛生教極都唔明嫁...死蠢...

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    1. Kelly並不參與估算p和o,對於賭局的輸贏它是中性的,或說僅是一個放大性質的輔助工具,p準確時它放大累計利潤,p不準確時它放大累計損失。注意其影響在於資本的「累計」,對於一個賭局的輸贏Kelly並沒有角色,贏不關Kelly事,輸也不關Kelly事,將Kelly視為可以用來贏錢的工具是不合理的。對單個賭局來說,Kelly不能把輸變贏,亦不會令贏變輸,並無任何正面或負面的影響可言。

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    2. I am not sure whether my understanding is right: I think 河馬兄 and other related bloggers' views are not saying Kelly formula is wrong or useless... they might see MLR+Kelly this combo is not longer practical for yielding enough and long term return due to 2 observations: 1). This betting market has become more efficient over years; 2). Bettor groups with huge capital can actually bet a lot to do so called "portfolio" betting and they actually have a significant % of the whole pool and so they don't really need a too accurate or refine handicapping tool to allocate the wining chances of horses to yield a certain % of profit. Just like insurance companies don't need to really define a very refine or precise death % of certain age group or earthquake risk of a particular city, they just need to roughly know the return period say 1 in 100 year etc. and as long as they do portfolio underwriting and to have enough penetrations or shares in the whole portfolio to balance off the risk and return yield. Actually, Benter did mention something similar like "wealthy gamblers" in his previous presentations or interviews.

      To me, MLR is kind of handicapping tool and as an individual bettor with limited capital, we only will have more edges if our handicapping tool are better than others. Kelly is the money management tool, yes I agree 對於賭局的輸贏它是中性的! and p準確時它放大累計利潤,p不準確時它放大累計損失.It is still the best money management tool so far (at least from my own practical experience).

      Good handicapping tool/model + Kelly still the best combo to me and it is no way we can prevent the market getting more efficient provided the information and data have become so handy due to rapid development of technology and actually you can find most critical data through the HJKC website such as sectional time for each horse, HD video play back for each race, etc. These are all available for public or professional bettors. To improve our winning edge or the p and o, we need to find ways to see what other data or information others don't see.

      One last thing about MLR, yes it seems probit model can perform better (heard professor Gu using it too) but yes, very time consuming for amateur.

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    3. 非常同意betting market has become more efficient,且競爭變得越來越激烈,贏錢的難度越來越高,這更說明了應該努力的是handicapping tool/model這個方向,指責對賭局輸贏無影響的money management tool是沒有道理的。

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    4. Kelly 是風險管理非常重要的基本概念。。over betting絕對是足以致命。。無論你model計到幾準。。注碼分配不正確。。一樣九死一生

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    5. I think their arguments are not on that 賭局輸贏, i.e the wining chance of each horse are depending on the handicapping factors such as pace, form, horse ability, etc. chances are estimated by your handicapping model such as MLR, Kelly has nothing to do with the estimates of winning chances, of course and money management tool is neutral for a horse win or lose?

      But the money management tool may affect the win (+) or lose(-) of your investment on that race, say.

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    6. 河馬兄said: 問題出係個"O"度呀! Most likely he means Kelly's assumptions are you need to have a better estimate on chance than public but whether your estimate is "better" is the question. Just my guess :)

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    7. //Kelly是風險管理非常重要的基本概念
      此乃正解。只是坊間不少人誤以為Kelly是一個可以贏錢的賭錢工具或投資工具,而抱以過大的期望,反過來又變成過大的失望。
      對賭馬而言,賭本是會total loss的,over betting絕無生路。

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    8. //I think their arguments are not on that 賭局輸贏
      如果不是作長線的資本管理,只是着意個別賭局或一場兩場的輸贏,那確實不應該使用Kelly。

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    9. //河馬兄said: 問題出係個"O"度呀! Most likely he means Kelly's assumptions are you need to have a better estimate on chance than public
      這樣說也對,但have a better estimate on chance than public是handicapping tool/model要做的事情,何關Kelly的對錯?

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  4. 池兄精湛演繹kelly criterion,大讚👍

    話時話,坊間有導師聲稱教此formula,點解未開班就走咗去...

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    1. 如果要用在股票組合,就要用到simultaneous Kelly,加減乘除做唔到架,要寫program,唔好難為大師啦。XD

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    2. 炒股用Risk parity去做分配可能更直觀(如果可以有效估算到downside risk當然更好),但太簡單就無賣點了。

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    3. 股票要用Kelly難度太高,因為沒有固定的p和o,時刻都在變,特別是喜歡無限補時的,根本確定不了派彩,如何配置比例?

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  5. "O"分母既然是波動,你落注的賠率與派彩時不同,如何控制風險同利潤最大化呢⋯21點回報是固定,足球回報是固定,你可以用Kelly,但馬賠率是浮動的。那就不能一條公式用到底啦⋯我唔信除15同除8係一樣羅。

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    1. 對的,實際上有這樣的執行難度。但不能說這是公式的錯,只是現實中我們無法把正確無誤的p和o放入公式。
      這個執行的誤差是客觀存在的,但其影響是否大到會令贏變輸呢?其實沒這麼誇張,只是令回報變得不太確定,而在某個區間浮動而已,決定輸贏的仍然是p。
      比如頭先場S1,啡綠格亂飛,如果用馬會的p下注,冇理由唔中55倍的「參差起伏」,只是最後利潤被綠格黨搶走了一些而已。

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    2. 明白河馬兄說的賠率落變動以致無殞能準確無誤的用kelly計出最終最佳注碼

      但如不用kelly你又認為應如何下注。。平注?

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    3. 其實我真心覺得池兄係綠啡格製造者之重心人物囉, 我分開3注下注「參差起伏」, 一共$7000, 完成下注再過半分鐘都仲係80倍過外, 到派彩得返55倍, 盈利前後相差廿萬.....

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    4. 你一個人都下注21000落一隻80倍馬。。咁都唔係你打到綠格。。。。

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    5. 共7000睇錯。。但你都大過我。。你個本金一凱理最少30萬以上了

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    6. 哈哈。池某冇咁大注,特別係隔山打牛會保守好多。
      池某睇返個app落注時個畫面係61.4倍,證明由80倍打落來的飛唔關池某事。

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  6. 總之你咩都岩啦⋯係我唔明,唔識用Kelly,唔了解Kelly既精髓。多謝指教

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    1. 唔明唔緊要的,向比自己高的人虛心學習,正所謂學無前後達者為先,不用氣餒,kelly criterion易學難精,唔好嬲自己!

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    2. 河馬兄:
      不好意思。數學和科學的討論都是直來直去直腸直肚的,不會轉彎抹角和稀泥,更不會搬龍門,實際上也沒什麼龍門可守,若討論之後發現真是錯的理論或低效的方法,放棄它就是了。
      討論的過程中語氣可能不太客氣,但絕無惡意,更不會有相輕之意。
      MLR+Kelly是否仍有效或會否持續有效的問題是很值得討論的。池某的觀點是MLR應還有改善空間,或會被更有效的工具取代。至於Kelly Criterion,恐怕要在理論去推翻它並不容易,反而怎樣在操作上創造更有效的使用條件更值得研究。

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    3. 本人也是用交易系統(不是MLR)+Kelly來投注賽馬和足球的,四年幾前辭職後便全身投入這項事業,去年在FB看了某兄台寫的blog更加發人心醒,所以我幾時都相信人外有人,只要不盲目覺得自己總是對的,幾時也會有進步空間,周末路過,祝明天贏更多。

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    4. //祝明天贏更多
      睇呢句就知兄台今晚應該贏唔少。今晚S1確係大贈送,只用一個multi Kelly calculator就不勞而獲,滿載而歸。

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    5. 本人是第一次在別人blog上留言,我相信Kelly Criterion的精髓應該是世上最好的投注分佈,而且後無來者,贏唔贏的關鍵在賭馬/賭波程式上,Kelly不能由輸變贏卻可以獲取最大利潤。回池兄,我的賭馬系統只有Q和P,獨贏無我份兒。

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    6. Q應該也很好,除了第一場隻大熱門,今晚係全面有edge。

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    7. 同意,估唔海外賽事有這樣的着數。本賭徒對海外賽事沒有認識及興趣,所以個Kelly 最多只可以計十四只,不過昨晚突如其來想睇睇海外賽,就一路睇一路將個Kelly改為計二十四只,就發現疑似着數。心想以為只有自己爛賭,其實大家都是一樣的:唔識都落注。
      另:以我所知,交易系統多用於股票及期貨市場,估唔到賽馬也可以,真是長知識。希望各方師兄能多計論,我就有機會做Copy Cat...

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    8. //唔識都落注
      結果就係個個買大熱門,英國當地5倍的馬在香港可以買到2倍樓下,基本上場場同大熱對賭就穩賺不賠。

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  7. 明白河馬兄的觀點。但based on河馬兄的觀點, 度好馬後應如何有效分佈注碼去投注?真係無challenge 意思,反而好eager去學習別人的高見,去增長自己知識。

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    1. 方法有好多,講開Kelly就用Kelly既概念做例子啦,如果你既選馬效率係高市場25%,咪用D個數模擬Kelly原理去搵個整體投注比例羅。反正單場既機率都好難驗証到是否正確,用一個平均率/一個時段既移動平均率去拉平個單場誤差,我覺得都係一個方向。

      P係一個點估算,是平均數。但理論上它是一個距間。每隻馬既標準差都唔同,合併後個距間會好多重疊既面積,D個都會影響P既有效範圍⋯眼訓啦暈暈地⋯聽日再講⋯

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    2. 如果每場下注的馬的數量唔多,呢個方法應該可行。
      池某最近聽聞有一位神人,靠自己刨馬,每場只下注一匹,成功率極高,佢冇統計勝出率,亦唔用Kelly,只係平注買,照樣年年贏錢,而且贏大錢。
      睇黎Kelly只係o岩池某呢o的唔識刨馬的低手用。哈哈。

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    3. 其實每場揀到隻無錢賺平水的買10000。。。已每場賺近1000回扣。。。月入有幾萬。。前題你抵得住個一千幾百萬波幅。。。又係賭本與風險管理的問題。

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    4. 這種所謂神人其實不少,雖然沒有電腦計算,但其實在腦中都是經過簡單過濾計算的。
      比如一場賽事主要有四匹競爭對手, 只要加上兩匹UNKNOWN或睇錯,已可輕易計出當中W6.0以上, P2.0以上就值得投注, 當然投注了30場過後, 戶口結存成線性, 更確立既有的賽馬思維方向是正確....如果出現不尋常波動性, 亦可翻查投注過的馬匹, 將選馬因素做檢討....
      賭馬,賭馬,賭馬, 由 「賭」加「馬」, 兩組東西組合而成....
      池兄涉足賭波,股票這些相似範疇,又靈活用上MLR, KELLY作賭具,當然是出色的賭徒.
      賭馬方面,池兄用MLR反過來找出每項FACTOR對賽果的影響,在運用賭術,賭具的確有過人之處.
      之前池兄有提過「其中的根本應是拓闊database,找出鮮為人知而會影響賽果的因素」,這方面就是所需要就是對賽「馬」的了解同認知吧.
      所謂鮮為人知的因素, 其實有時不必刻意尋找發掘, 在大路的賽馬資料中是否正確解讀, 其方式已是十分重要.
      比如每場所公佈的段速,每個人的解讀都不同,好些記性好的人能背誦好幾匹馬所謂頭段,末段造到幾快....
      但所謂的快,正常,慢...怎樣介定?
      「駿明珍寶」在R720造1.09.12是否就勁過「幸福指數」在R374造1.09.15 ? 如果不是,那又何必執於什麼馬做什麼時間, 而什麼馬末段又快到22.XX??
      PS:「精英大師」是否一匹強勁的馬,那牠有多少次是自己做全場最快末段呢。
      單單是時間的解讀,已需要不少苦功, 如果沒有解讀,純粹拿下時間數字來做MODEL的FACTOR,相信一樣可以用MLR或其他科學方法計算出有利的優勢,但這只是因為在「賭」術上比較優勝。
      還記得池兄季初曾在一篇回應寫過「不用XXXX....已知道巴基之星是匹很強的馬」,這句話已大慨反映出池兄當時所處的層次(不是有意說低兄台的,只是兄台的反應很正常,屬於正常層次)
      但對賽馬深入研究的,想法應該是巴基之星「可能」好勁,但頭兩場賽績除了贏馬這個因素外,從其他角度都看不出實際証據能「確認」牠好勁,後面或者有ATTACK的空間存在。
      馬的解讀是內功,賭的方法是招式.
      池兄已是一個在修練「獨孤九劍」的出色賭客了! 不過真正的「九陰馬經」應是對「賭」「馬」兩回事都有深入研究才算得上。

      小蝦米上

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    5. 小蝦米兄真係內外結合的高手,池某賭馬唔睇馬,注定只能停留在低手層次。XD

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    6. 大b兄係咪之前o個位大戶beyond,風格咁似o既?

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    7. 高手?
      我遇過高手(PROPUNTER)才知道天外有天, 否則跟茶仔里的大叔也沒分別....
      不過帶給我啟示是, 賽馬真的有PROPUNTER這種職業同這條路.
      當然, 最慶幸的是發現兩個人之間的「差距」,特別是自己處於較「水皮」的一方...
      賽馬投注中, 兩個人總是處於亦敵亦友, 像捉圍棋一樣, 討論越多, 越有得益, 只有自己跟自己捉棋比賽, 很難去到神之一手的地步。
      池兄的大方向,思路是正確無誤的,不同的可能只是大家追求不同,沒高低之分.
      小弟目標不是賺$$, 而是在自己興趣範疇不斷變強.....
      當然變強的副作用是賺了$$...........KAKAKAKAKA

      小蝦米上

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    8. 呵呵。引用blog友的一句話,池某現在賭馬只是在滿足一下「兒時的夢想」,以及感受一下將maths融入生活的快感而已。
      另,蝦米兄真有捉圍棋嗎?

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    9. 池兄. 我沒捉圍棋,讀書時捉中國象棋多. 不過對動漫作名的棋魂頗有感受.

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    10. 現今香港捉圍棋一輩好多都係受《棋魂》(《棋靈王》)影響,然後被AlphaGo搞到冇癮。XD

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    11. 是的. 不過《棋魂》(《棋靈王》)劇情中亦已明示過AlphaGo的出現可能才是真正的棋神.
      換個角度, 人類發明了汽車, 也有汽車的比賽, 但奧運的跑步比賽還是一直辦下去, 賽馬也是, 某程度也是為了精神勝利, 當然副作用令人類身体變強壯也是好事.

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    12. 所以電腦賭馬(或說程式賭馬)應仍有變得更強的空間。:)

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    13. 想到一句廣告對白,改一改似乎適用。

      好彩Google未搞賭馬,一搞,都可能係世界上最好……

      快餐人上

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    14. 電腦賭馬.....池兄已是活例子!
      遇到你, 對我來說亦是好事, 馬匹表現大部分表現是有波動性, 用統計學的方法去計算的確是好的解決方法, 就算是前文提及那些神人, 好些實力馬在谷草排在大外檔, 沒有電腦幫助, 其實也很難衡量出合適價位, 當然選擇一些單純錯誤的熱門作SHADOW, 有機會MAKE EASY MONEY, 只是出手機率變少...
      能做出屬於自己的模型, 會更有效盡用自己的理念!

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    15. 池某個model仲未夠強,暑假要再變一變身,應該仲可以有啲進步。

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    16. //好彩Google未搞賭馬
      池某之前寫過,Google好多技術同算法用於炒股投資方面一樣是極強橫的:
      http://poolshunter.blogspot.hk/2017/05/blog-post.html

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    17. //某程度也是為了精神勝利
      執埋尾場,又一個豐收日。痛快。
      精神同銀包的雙重滿足。XD

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    18. thks 河馬兄的啓發,獲益良多。蝦米兄關於段速和"賭""馬"合一的理論十分精彩。

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  8. 馬場上最重要有"專家",例如晨操勇馬試閘見靚的「粟馳驅」及18馬膽「手到拿到」,這個台的觀眾不少,確是為我等不刨馬者提供可觀盈利,所以我說馬場上最緊要有"專家"(當然股市場上要有大C),同埋只是跟買的群眾,想到此點,Kelly也不算什麼厲害武器,他們才是主要收入來源

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    1. 哈哈。池某好少批評馬場的「專家」,佢地係inefficient market的製造者,搵食要靠佢地。

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  9. Google話會公開AlphaGo既演算法,知唔知邊度搵到?

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    1. 好似係話會公開研發細節同棋譜。演算法唔知會唔會公開呢?

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  10. 關於獨贏(Mutually exclusive and exhausive)的 Kelly 方法,我記得 Kelly 當年那篇論文最後面已經有記載,是一個相當簡單的 Algorithm 來的。至於像是 QPL 啊 Pla 之類的彩池,以我所知應該要做一些 Partial differentiation,極麻煩但不算很難,池兄有數底應該用膝蓋也輕鬆 D 到。
    但股票這類有連續時間性的賭博,你可以隨時渣、隨時沽,它背後的 Kelly 我真的不清楚該怎麼計算。池兄會否有一些 idea?

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    1. 關於Pla,池某最近試了幾個賽日,發現單純地使用simultaneous Kelly效果已很好,已連續四個賽日保持盈利,即使win出現虧損的賽日,pla仍有正回報。當然,其中是否有未知的缺陷還需時觀察研究。若然成功,這會是一個非常簡單方便的選擇。
      至於股票,池某認為除非可以像James Simons那像做1秒鐘幾十次的高頻交易,而又有方法有效地到估算到未來有限次交易的「賠率」,Kelly方有用武之地,否則始終解決不了time series的問題,最多只能以Kelly的精神做下組合的rebalancing。

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    2. 池兄說的「Simultaneous kelly」是指買 Win 的算法(Which is Kelly 原本那份 paper 最後的部分)?
      Time series 小弟還沒有學過。
      其實我有想過一件事是,例如恆指現時是 25000 點,然後我分別花一筆錢買例如 20000 點和 30000 點打靶的牛熊證,問題是該如何用連續時間的 Kelly 來不停 rebalance 現金、牛證、熊證持貨量。
      有點好奇池兄會不會接觸過 Time series 的資料。

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    3. 池某的理解是,買Win的算法一般叫multi Kelly;Simultaneous Kelly不同之處是把所有要下注的馬匹當成independent的simultaneous events來處理。
      關於Time series,池某曾嘗試學習multifractal去處理,但學藝不精,不得要領。哈哈。

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    4. 明白,即是 Simultaneous Kelly 對於入位的馬數完全沒有限制。用不是最正確的 Kelly 都有賺,似乎池兄對 Place 機率的計算挺準確。

      小弟之前在《The physics of finance》讀過股市和 fractals 有多相像,但沒想過原來可以直接用 fractals 預測。池兄給了我一個很棒的起點。

      話說,這書有提過有個物理學教授本身研究材料斷裂前的表現,後來他用自己研究成果來預測股災。

      在他首次預測股災時,每個人都覺得他在 bullshit。結果讀到他的預測應驗的時候真的非常爽。

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    5. 池某並沒有特別去計算Place的機率,這是一個困擾已久的問題,看看情況如何,日後可能會再寫寫。
      Multifractal分析是可以用來計算材料斷裂或雪崩等現象的臨界點的,也有團隊用來預測股災,不過池某愚鈍,學無所成。呵呵。

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    6. 如果池兄用 logit 的話,我猜可以考慮一下做 4 次 Regressions︰

      B1 是跑第 1 的 Regression coefficients,
      B2 是跑第 2 的 Regression coefficients,
      B3 是跑第 3 的 Regression coefficients,
      B4 是不入位的 Regression coefficients。

      然後某馬跑第 k (k=1,2,3) 的機率就是
      exp(Bk.X)/(exp(B1.X) + exp(B2.X) + exp(B3.X) + exp(B4.X))

      ↑ 這是其中一款我知道可能有機會算到跑頭馬以外的機率的 Regressions。我自己沒試過這種,如果池兄捷足先登先試到的話,是生是死也請告訴我 XD

      池兄謙稱「學無所成」只因太忙碌了吧。說起 Fractals,以前一直覺得什麼 Mandelbrot set 啊、Kock snowflake 啊這些純粹好玩的(的確很有趣是真的),結果 fractals 背後隱藏這麼多玄機。越來越體會為什麼以前大學時教授說華爾街最頂尖的一批人是物理系、數學系出身了。

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    7. 池某的確曾想過用這個做法,但解決不了row sum的問題,沒付諸實行。

      華爾街最頂尖的物理人、數學人很多都被Renaissance Technologies搜羅了。

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    8. 池兄說的「Row sum」是指所有馬同名次的 probabilities sum up to 1?
      如果用上述方法的話——雖然我沒試過——但把同名次的馬的 probabilities 除以總和不 work 嗎?

      我意思是,如果 Pij 是第 i 隻馬跑第 j 的機率,那麼把 Pij update 成 Pij/(P1j + P2j + P3j + ...) 這方法有沒有效?

      畢竟印象中很多計算頭馬機率的方法調整計算結果。

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    9. 是指同一匹馬跑不同名次的probabilities sum up to 1。
      按column sum把所有馬同名次的probabilities sum up to 1之後,row sum就很難保證。

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    10. Row sum 應該沒所謂吧?畢竟即使玩四連環啊之類也只是用到第 4 名的 Probabilities。Row sum 不等於一就當作是 Error 應該沒問題吧 XD

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    11. 有所謂的,一面倒大熱門很大機會出現入place機率大於1的情況。

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  11. 小弟是用bayes theorem 計算機會率, 再用kelly分配,用作賭波是不錯,但馬就輸多,所以請問有咩書可以作參考

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    1. 計馬的方法和路向頗多,但要將一種方法用到精要費很大的精力。入門建議參考「計得精彩」,選定路向之後再search相關的paper。

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  12. 可參考"計得精彩", D本係一本好好既入門書. 池兄成日講既Kelly+MLR裡面都有講解.說此書是池兄的師傅也不為過...
    但真的只是入門版,你了解完之後, 第二步就要找出書中的錯誤限制及缺憾, 第三步就是要推翻他重新立論...慢慢長路, 加油孫兄.

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    1. 我看過「機率思考」學到bayes theorem,才接觸到賭博,再者我曾想買「計得精彩」但各大書店都無...

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    2. 是的,「計得精彩」是池某行動的師傅。雖然MLR和Kelly的知識和概念一早就有,但如何將這些砌埋一齊run出一個結果,確是從「計得精彩」得到啟示。這就是池某所說的確定「路向」,即確定「此路通行」,之後可以走多遠就要靠自己努力了。

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    3. 不知池兄是否可以借書一看,各大書店也斷貨 即使淘寶也沒有.... btw bayes 是我首個接觸的概率計算 情有獨鍾

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    4. 池某那本早已不知所蹤了,之前有blog友留言說網上有pdf版。
      實際上選定路向之後已很難把這方面的知識兼顧得那麼雜,而會越來越偏於自己當前需求的部份,所以一般只是將書本的一些概念融匯貫通到自己原本的知識,而不會把某本書當成指引或工具,否則永遠跳不出一個框框。

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    5. 於小弟而言,運用bayes 是以新證據去推測事件發生機率,但是新證據很難掌握 更難是用新證據轉換成機率,所以才想多參考不同書籍,了解不同的轉換。但現時小弟問題是本金分配...

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    6. 作為handicapping tool,池某認為conditional probability也好,MLR也好,都有一定的侷限性,也許在某些特定的環境頗適用,但想作為全面的通用的工具來使用似乎是不太合適的。
      本金分配問題就是Kelly之類的另一種工具了,不是handicapping tool的問題了。

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  13. 有興趣就睇多本啦-多元迴歸分析(出版社:五南)

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    1. 如有其他書 我也想知道 我會看,參考唔同書籍先可以完善自己的計算。

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    2. 計得精彩是一本好的入門書,作者是修讀精算(同Alan woods一樣),如果你有statistics background, 應該不難明。中文版一早巳绝版和不會reprint, 聽聞在內地都有幾多人想搶本書�� 英文版在amazon有,也可去buy online.

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  14. 請問池兄有咩程式幫助下注?

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    1. 兄台的意思是指概率計算、注碼分配,還是單純指控制注項到投注區?

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    2. 指快速下注在投注區,人手太慢....

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    3. 現成的程式恐怕沒有,因為要同個人即時計算的output的格式相結合才能將結果提交到投注區。
      瓣數多的彩池,池某現在會用IT人寫的半自動系統將計算結果「泵」入投注區,但login a/c同確定傳送注項那下仍是要經人手。
      IT人說全自動系統應可在近日完成,到時只需提早set定下注時間,由login到傳送注項等步驟都會自動完成。

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  15. 你set定時間如delate開跑時間咪可能同最后賠率有一定差異,所以全自動應意異不大

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    1. 當然是自動/手動/半自動可隨時轉換的,全自動只是為不時之需作準備,其實最有用還是自動計算注項並快速把注項提交到投注區的部份。

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    2. 根據經驗, 最最後一刻既馬會賠率根本唔可以响截飛前攞到, 所以你永遠見到截飛後啲賠率會再跳一次, 當然, 有時會被打劫, 有時會升水, 睇下大戶落咩飛囉 ! 所以, 無必要強求攞 "最終" 賠率, 自動 / 半自動只係希望可以臨開跑前可以快速落注, 減低人手輸入手忙腳亂情況。
      IT人

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    3. 暫時試驗提交注項到投注區只需0.7秒左右,閃電咁快。淨係拆呢部份出來取代手動都好煞食。

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    4. 這樣電腦化當然是不錯,成立一個集團可以節省人手... 但不知資料的來源(XML)是否最UPDATE版本....?
      以我實戰經驗睇, 電視上的賠率是最UPDATE, 比投注區的快成十幾秒至二十秒....
      PS : 由於大部分時間我投注馬匹跟綠格朋友相類似, 我要嚴守價格至最後一秒

      小蝦米

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    5. XML不是最UPDATE版本,其實電視都唔係。
      被啡綠格食掉部份利潤雖然有肉痛的感覺,但實際對整體利潤的影響不算很極端,因為按落飛前的賠率下注一般注碼會比最後應買的注碼稍多一些,所以落飛得手反而不如落飛失手傷。

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    6. 投注寶將成為歷史了,Peter兄比較熟悉投注寶的情況。

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  16. 請問大家哪裏可找到年齡這個參數,馬會的網站貌似只有現役馬的出生日期,退役馬的沒有提供...

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    1. 馬會排位表和蘋果馬網的歷史賽果都有年齡。

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  17. 賭波馬來講,成條式最難是p,p都搞唔掂;如果是股票,理論上股票是有底無頂的,連賠率也很難去決定。

    搞唔掂數字如何計出來,如何優化也是仆直。

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    1. 之前有大師話要開班教人用Kelly優化股票組合注碼,唔知交左學費的學員有冇人修成正果呢?XD

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    2. 多數仆直,外人入行,我估計得兩種方法,學好 數學 統計學 電腦知識 等知識再幾合一;第二個方法,正正經經讀大學,考入GS DB MS 金融惡棍 有關計數的職位,推銷系無用 或 William Hill 等有關計數的職位。我見William hill有請數據分析員/開盤員,入去自然知點計數為之好。

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    3. 人地話數唔駛識好多,識得計收到幾多學費就夠,加減乘除足矣。XD

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    4. 咁都有人信的話無嘢好講;同 相信性交轉運一樣level。

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    5. 呢個現象之前寫過了:
      http://poolshunter.blogspot.hk/2016/07/blog-post_12.html

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  18. 想問池兄
    A: 馬匹計出來的p高但eo>ro
    B: p低但eo<ro
    如果是A情況而又很熱,根據kelly大概都會叫不要下注,但有些ro高的,p又太低,好似輸硬咁,kelly都會叫下注,池兄會如何處理A跟B的情況?

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    1. 不必主觀去處理,Kelly calculator自會處理的。
      Multi Kelly會計算全部馬匹互為影響的關係作出注碼分配,如果p很高,即使eo>ro,多數都會下注,雖然贏出的結果會得不償失,但不會損失太大。

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  19. 請池兄指教:
    20170701 Kelly Criterion 在股票的應用
    http://edwardyuinvest.blogspot.hk/2017/07/20170701-kelly-criterion.html

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    1. 池某認為硬要把Kelly Criterion應用在股票未必是明智之舉,因為要解決p和o 的問題需要很多很多的假設,實際上若能有效估算p和o,即使不用Kelly Criterion也照樣能贏錢。一般散戶(特別是喜歡無限補時的乜乜投資者)並不會像一場接一場賭波賭馬一樣時時刻刻交易股票,不存在不斷以複式效應彰顯微弱優勢那種Kelly精神。

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  20. 池兄,請問以你經驗而論,你認為賭波/賭馬 更難嬴? (以長賭作考慮)

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    1. 賭波難贏。因為賭波多數係fixed odds,對手係莊家;賭馬多數係pari mutuel彩池,至少有D投注站門口阿伯同茶餐廳大叔可以「恰」下。

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    2. 謝回覆
      另外,想問池兄有冇聽過只靠賭波可以達到穩定收入的成功例子?
      皆因小弟正向呢方面嘗試,希望得到啟發!

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    3. 賭馬有聽過,而且不止一兩個。賭波真係冇聽過。
      早年有聽過一D利用不同莊家開盤差異「打水」搵食的例子,真真正正在這個遊戲長期beat the dealer的例子未聽過。當然,也不能排除有人成功而悶聲發大財沒有公開。

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    4. 我睇應該機會好微,固定倍率既情況下,即使公開對佢也無害。
      賭波要嬴原來咁困難,即使這仗我輸了,還是可以吧...哈哈

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    5. 大陸足彩反而多pari mutuel,彩池又夠大。但係抽水率35%,好難搵到食。

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  21. Hi 池兄,一季下來dB HaFu 想俾返少少feedback你:
    我好懶,玩玩下就幾個月無玩,再斷下斷下咁玩。
    落注 182 次,當中有錢收回的次數有9.34% ,除開182 次,每次落注贏利113 文。
    由於無半自動外掛 XD,每次用上10-15min 先落到注,下季未必會玩。很有趣的經驗,謝謝。
    另,葡萄牙 對 墨西哥呢局好多人中(定義為“中獎金額” 〉 “投注額”/1000),我要去到7X 注,無份。因為季中開始無玩,想知係咪賽季越後越難中?要轉方法先(比其他人)有效嗎?
    PS 用開懶西方:半場/全場反推 就算

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    1. 多謝TeamKill的數據,池某都係時候寫番篇孖膽總結。

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    2. 池兄,小生想請教一下機率的問題

      小生嘗試用馬會的上半和全場去反推下半的機率,但卻有兩三個下半場的比分會計算出負值的機率。

      程式和數學公式,小生都曾用完整的上下全場數據去測試,結果都是準確的。

      小生應該放棄用馬會的odds?
      還是有甚麼數學方法去解決負值機率?

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    3. 用馬會什麼賠率?如果是用半場波膽和全場波膽出現大誤差很正常,因為這兩個彩池抽水率極高且作了「肥尾」處理。

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    4. 你點推 "上半和全場去反推下半的機率" 先?
      舉例, 全場 2-1 :
      (1) 上半 0-0 + 下半 2-1
      (2) 上半 1-0 + 下半 1-1
      (3) 上半 0-1 + 下半 2-0
      (4) 上半 1-1 + 下半 1-0
      (3) 上半 2-1 + 下半 0-0
      咁推法都負值 ??

      路人甲

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    5. 回池兄:

      正是用馬會的半場波膽和全場波膽。小生計算上亦有處理馬會的抽水(0.25),所以應該沒有抽水造成的誤差。但所謂「肥尾」處理是甚麼?

      回路人甲兄:
      如兄所言。甲兄亦可試試會否推出負值來。

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    6. 我不是用你提及的方法, 不會有負值問題。
      不過 ... 計得點叻都冇用, 一開冷波膽就又會做咗爬冷黨點心

      路人甲

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    7. 波膽的抽水率好像是30%,嚴格來說,波膽的每個比分抽水率都是不一樣的,比如0:0,因要就返「總入球」等其他彩池,會抽得少一些,那些大數目比分因要防止爆大冷輸爆廠,會作「肥尾」處理,抽多一些,因而誤差會較大。

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    8. 回池兄:

      原來如此,多謝池兄指教。

      小生從不賭波馬,但見池兄網誌中的方法如此有趣,便動起手來寫了一個程式去估算一下球賽賽果。編寫過程相當好玩。

      那麽池兄如何處理眾多未知的抽水率?放棄馬會的數據,直接找尋未經抽水處理的波膽來源?

      回路人甲:

      甲兄意思是同樣用半全場的數據,但以不同的數學方法去處理(反推)?小生只能想對上述的反推方法。

      刪除
    9. 跳過馬會賠率用poisson模擬出來
      http://poolshunter.blogspot.hk/2015/09/blog-post_13.html

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    10. 回池兄:

      其實小生根據池兄網誌第一個編寫的程式,便是這個poisson模擬方案,編程上不是太難。當中計算各關不同組合的機率,小生是第一次用程式運算這麽大量的組合。如果不包括計賽果比數是「其他」的選項,也能得出六十多萬個組合。電腦要一分鐘以上的時間才運算完畢。第一運行時,還以為程式「抄」了。算是一個不錯的編程體驗。

      不過,poisson模擬方案只是玩了數天,便覺得它的限制太多,例如是不能處理非聯賽、剛升班的球隊、中立球場等等問題。所以小生才想試試可否從莊家的odds反推出下半場的機率,因為以莊家的資源,它應該是比一般人更能掌握更準確機率吧。

      小生本來以為取得莊家的最初odds便可以反推到,但原來最初的odds也經了「肥尾」之類的調節。以池兄經驗,poisson模擬會比反推便佳嗎?

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    11. 第二段所言完全正確,但這不是魚與熊掌二選一的問題,並非只能飲咖啡或奶茶,嘆杯鴛鴦有何不可?

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    12. 回池兄:

      池兄所言甚是。不過若果經常沖鴛鴦,工序也不少喔。

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  22. 你玩過超過半年, 証明孖膽係辛苦錢 (尤其你冇半自動外掛), 加上優勢又唔係咁明顯。季初季尾賽果就更無譜, 只能等運到 ...
    路人甲

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    1. 季尾大鑊啲,都係風流波。

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  23. 池兄 我發現我的計算賠率同實際賠率差好遠,怎樣辦! 特別是過99賠率的馬

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    1. 未必係壞事呢。如果隻隻頭馬都計到熱過實際賠率好多,咁就發達了。

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  24. 池兄 請問如何處理田草,谷草同泥地時間問題?

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    1. 池某的做法是一概同標準時間比較。

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  25. 請問池兄如何計算勝出概率?

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  26. 那可否從各馬匹的賠率中計算得到呢?

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    1. 不行吧,要戰勝賠率才能盈利。

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  27. 文中提到投注A+B比只投注A好。
    但投注A的ev是1.1投注A+B是1.04。為何還去計A+B的Kelly?

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    1. 是的,A的ev遠大於A+B,A+B的ev只有0.04。
      計算A+B的Kelly只是為mutually exclusive的outcome買個「保險」而已。

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    2. 咁投注嘅話你會投注A定A+B?

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    3. ev低咗但投入資金反而多咗,是否明智?

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    4. 資金比例的投入並非單純取決於ev,同時也取決於a*b,亦即o-1

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    5. 有什麼文章可以參考嗎?謝謝

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    6. 池某在前面寫過類似的文章,大同小異。

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    7. 我同意資金比例的投入並非單純取決於ev。
      但要找出最佳投注選擇,不是只看ev嗎?
      在找到最佳投注選擇後才計算資金投入比例,不是這樣嗎?

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    8. 如果一場馬有14匹馬上陣,其中1、2、3號馬都有+ev,且ev(1) > ev(2) > ev(3),兄台會如何處理?

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    9. 我不賭馬的。如在賭波方面,我只選擇ev最大的下注。
      其實是因為看到池兄這篇文章才令我反思我的做法是否錯了。
      如同時主勝與和都是+ev, 是否兩項都投注比只投注一項好?如何計出這結論?
      謝謝

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    10. 賭一場「主客和」與賭一場馬的獨贏一樣,結果是互斥的,應使用multi-kelly,買晒所有+ev,甚至部份差距較小的-ev。
      http://poolshunter.blogspot.hk/2015/09/blog-post_19.html
      如果同時賭多場波,則要加上另一種計法:
      http://poolshunter.blogspot.hk/2015/09/blog-post_20.html

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  28. 池兄,
    我想計算入球大小的Kelly,
    入球大小2.5 賠率(From 馬會) 為 大:1.7 小:2.02
    入球大小機率 (假設), 大:60% 小:40%

    f(小) = (2.02*0.4-1)/(2.02-1) = -17%

    想問我假設上有否出錯導致出現負數機率.
    謝謝

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    1. 馬會開得畀你, 已經抽晒水, 即係冇 Edge 可言, 搵 Kelly 計黎做咩 ?
      路人甲

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  29. 有一簡單問題想問池兄,過去39場賽事勝出33場負6場平均賠率2.05倍,想由均注轉做百分比投注,但根據這公式計出來下一場投注額是本金70%,是我計錯還是什麼,有什麼其它策略可參考?謝謝!

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    1. 嚴格來說,「平均」的數字不宜直接代入去計,因為下一場的機率和賠率都可能遠離平均。

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    2. 是的,請教可以有什麼投注策略比現在均注好呢?

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    3. 可以參考賭馬高手的做法,定一個每次下注比例(相對於本金結餘)的上下限,然後根據本金的變化直接乘這個比例得出實際注碼,如果不斷贏錢,一樣可以滾動得很快:
      https://poolshunter.blogspot.hk/2017/11/blog-post.html

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  30. 謝回覆,我是位置投注者,每日投注兩匹馬,今季最熱1.3倍最冷3.6倍平均2.05倍,命中率84.61%,目前只懂每場投注1萬不中回水1千,知道有kelly所以來學習一下,池兄加油。

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