2020年8月27日 星期四

數字遊戲

化骨龍一邊玩著計數機,一邊分享他的開心大發現:原來0的0次方等於1,而不是等於0。但係……點解呢?

池某嘗試以limit的概念去解釋,當x->0,lim(x^x)=1,見下表:



化骨龍很快又有一個更有趣的發現:既然1^1=1、0^0=1,0至1中間的數字取自己次方都小於1,點解最細的數值唔係0.5^0.5而係0.4^0.4?

“0.4^0.4應該不是最細的,若細分下去,0.37^0.37左右會更細。”池某憑直覺衝口而出,同時腦海裡浮現了1/e這個神奇數字。

口講無憑,好在要證明也不難:

Let f(x)=x^x,d一d就得出,

f’(x)=( x^x)(ln(x)+1)

因為f’(x)=0即ln(x)+1=0時f(x)有optimal,所以可以解出x=1/e=0.36789441…

正是0.37左右。

不過同小學雞講derivative都係嘥氣,還是列個表方便啲:



池某之所以說1/e是個神奇數字,相信有看過趣味數學題之類的都知道,1/e正是選擇困難症的最佳解藥。著名的請秘書問題、揀老婆問題、見好就收問題等等,甚至蘇格拉底與柏拉圖關於愛情、婚姻和幸福的對話,都可以用這個數字來解答。

這個數字應該如何使用呢?假設你安排了與100個人相睇,依次逐一與他(她)們會面,會面後要即時決定是否揀他(她)做老公(婆),一旦作出決定就不能反悔,而在這100次會面中一定要作一次決定也只可以作一次決定,應該點揀?正常人遇到樣的問題都難免會選擇困難症發作:若太早作決定,很難確定那是不是最好的;若太遲作決定,很大機會會錯過了最好的。

在這種兩難關頭,就可以請1/e出場了。具體做法是先將1/e的比例(100人就是前37人了)列作觀察,而不作決定,但記下最好那個有多好,一旦之後遇到一個同樣好的或更好的,就要立即作出決定。這種放棄前面1/e比例的決策方法被稱為最優停止理論(Optimal Stopping Theory),也被稱作1/e法則或37%法則。

從上面例子也可以看到其實1/e法則的使用限制相當多,很難在實際中驗證其效果。現實中有什麼情況是要經常作決定而且一決定之後就不能反悔的?最常見的例子應該是股票交易。那1/e法則是不是一個用以撈底或逃頂的理想方法?

為了滿足1/e法則的使用條件,這裡先假設每個交易日只能交易一次,且以多少個交易日為計算單位。舉個例子,只考慮3個交易日的情況,要撈中3個交易日的最低位,怎樣操作的可能性最大?根據1/e法則,應先放棄第1天,然後再以第2天的價位同第1天比較,若不是比第1天更低,就用第3天的價位同第1天比較再作決定。問題來了,若第3天的價位也比第1天高呢?可見,用所謂“最優”的1/e法則,其實並非100%能選到最優答案的。那麼其成功率有多高呢?

若詳細拆解共有三個選項的情況,假設在A、B、C三個選項中,A最優,B次之,C最差。三個選項的排列方式共有六種:ABC、ACB、BAC、BCA、CAB和CBA,顯然,如果是隨機地選擇一次,選中A的機率就是1/3;使用1/e法則呢?放棄第一個不選之後,BAC、BCA和CAB這三種情況都可以選中A,成功率提升至1/2。

不過,隨著選項數目增加,1/e法則選中最優的成功率也會逐步下降,可幸的是,不管選項總數增加到多少,成功率也只會降到1/e,即接近37%左右就不會再下跌了,見表:



可見,要使用1/e法則來撈底,即使是在使用環境極度簡化、理想化的情況下,成功率也只得37%左右,而且還有一個現實中未能預知的問題無法解決,那就是每次輸贏的幅度。因此,看不到1/e法則用於撈底操作的實際可行性。最多只能領會一下其精神:比少少耐性,讓子彈飛一會兒才出手,會比匆匆作決定較優。

今年1、2月間,恒生指數受疫情影響開始下跌,從29000多點跌到26000多點時,池某身邊的朋友,包括很多師奶大嬸都已磨刀霍霍、蠢蠢欲動,準備重錘出擊撈底,有的問及池某意見,池某又不是財演大師,哪知幾時係底幾時係頂?只能重申一下1/e法則的精神:比少少耐性會係較優的選擇。

後來有一位朋友說,他使用1/e法則在3月19日今年恒指的最低位成功撈底買入了2800,聽得池某一頭霧水。他解釋說,只記得池某說過舉棋不定時可以用1/e法則作決定,但無法套用於股市,於是他自製了個人版本的“1/e新法則",以恒生指數的歷史高位33484點下跌1/e,即33484*(1-1/e)=21165點為撈底界線,結果一擊即中。

咁都得?!池某自愧不如也。