今年馬季開鑼的日子較往年早一些，8月未完，就要根據新的變化更新程式、重整資料庫，準備迎戰新賽季了。雖然統計指標顯示，要從馬場贏錢是一年比一年困難，但對於新賽季還是不太悲觀。
不悲觀是因為對自己所處的位置很清楚。可以確定的是，自己贏不了專業的集團，也贏不了統計系的教授。所幸的是自己也並非處於食物鏈的最低端，只要遊戲的參與者之中還有拿份馬經蹲在投注站門口的老伯、或在茶餐廳“頭顎顎”望住部電視的大叔，和一大批根據電視、電台、馬經貼士下注的馬迷，贏面還是不低的。
池某當然不會當面挑戰那些老伯和大叔，一來，他們是米飯班主；二來，他們當中真的不乏藏龍臥虎之輩，有的對每一匹馬的資料熟悉得如數家珍，有的一眼就能看出哪匹馬有火、哪匹馬狀態不佳。更重要的是，他們都曾有過引以為傲的往績，一遇到質疑，即能拋出自己在哪年哪月哪日有過哪些經典之作，鎮住陣腳。
那些讓他們自豪的往績，給了他們繼續玩這個遊戲的信心、動力和熱誠，也是他們至今仍然蹲在投注站門口的原因，亦使他們一直以為自己眼光獨到、成功在望。偶然一次不大不小的收獲，更能加強他們的自信，即使這樣的收獲並不能追回之前所輸掉的損失。
他們從不會懷疑自己的眼光和方法，只會將不太如意的結果，和成功在望的目標遲遲未能實現，歸咎於運氣、騎師的發揮、馬匹走位意外等等。因此，他們也從不會反省，為什麼一年又一年，他們仍要蹲在投注站門口？
從單一的微觀的角度來看，他們也許沒有錯，甚至是其中的表表者，他們或者真的有能力找出狀態最好的馬匹，又或者通過分析計算揀中實力最強的馬匹。
不過，從整個遊戲的宏觀角度來看，狀態最好的馬匹，並不一定能就贏；實力最強的馬匹，也未必就不會輸；甚至買中了勝出的馬匹，也不一定就能贏到錢。要玩贏這個遊戲，並不在於有多高的命中率，也不在於中過幾只冷門，而是必須在大數法則之下保持優於大眾。哪年哪月哪日哪些經典之作，除了打打嘴炮贏贏牙骹，根本無助於整體身家的增長。一年又一年之後，自己的身家幾許，無法自欺欺人。
投資如打仗，玩的是排兵佈陣的遊戲，鬥的是陣法的完整、武器的精良，而不是個人在個別項目武功的高低。要贏，把握好個別指標是necessary condition，建立完整的投資系統才是sufficient condition。
在這個弱肉強食的戰場中，最怕是遇上比自己更強的陣法和更powerful的武器，最開心的是遇上自吹武功高強的義和團式莽漢，雖然以一大堆statistical models去對付手無寸鐵的老伯和大叔看似恃強凌弱、勝之不武，但既然他們自稱是武林高手，贏他們的錢倒也沒有太多的罪疚感。
醒目的讀者看到這裡應該不難察覺，把上面文章中“馬匹”二字換作“股票”，同樣是成立的，而且很可能更容易聯想到自己熟悉的老伯和大叔。
前幾篇文章談到投資中兩種截然不同的情況，第一種，對於有edge的股票，盡可能分散地買，可以把Expected Growth推到最大；第二種，一注獨贏於盈利率與虧損度之比懸殊的股票，也能令資本的增長速度達至最快。究竟以一注獨贏之“矛”，對分散投資之“盾”，何者更優勝呢？那就帶著矛盾再研究吧。
一注獨贏好還是分散投資好，不僅是片面和主觀的方法之爭，把背後的條件和理據弄清楚、搞明白，對具體的操作也很有現實意義。如果可以順利解決什麼時候選擇“股票+現金”組合較有利，什麼時候選擇“股票+股票”組合較有利，也就可以間接回答Wanderer師弟所提出那條看似無從入手的難題：同2800做rebalance，用現金好，還是reits、公用股的組合好？
首先探討一下“股票+現金”組合，再次搬出最優化資本分配公式：
f = p/a – q/b
其中，f是投入資本的最佳比例，p是盈利的機會率；q是虧損的機會率；a是虧損幅度；b是淨盈利率。
相對應f這個比例，其最快增長速度，g = p*ln(1+f*b)+q*ln(1-f*a)
為了方便比較，選用上文例子中股票A的條件，假設輸贏概率都是固定的（例子中都是0.5），expected value也是固定的（例子中是0.6），這樣，就可以得出盈利率與虧損幅度之比對資金增長的影響了。
而且，因為expected value = p*b-q*a，在這個例子中p和q都為0.5，而expected value又是固定，即(b-a)是固定的，故只需考慮只其中一個變量就夠了。在一般沒經槓桿操作的賭局或股票中，虧損幅度，即a，只會處於0與1之間，所以選取a來比較會更便於解釋結果。把0<a<1代入g，就可看到“股票+現金”組合相對於虧損幅度的資金增長變化，如下圖：
現在考慮另一種選擇，“股票+股票”組合，不保留現金，把資金平均分配於兩只條件一樣但可能升跌不同步的股票A和B。同樣假設股票A和B都符合上述例子中的條件，每一輪投資不外乎四種結果：
第一種：1/4機會，A升B升，資金的收益變化是：1+0.5*b+0.5*b
第二種：1/4機會，A升B跌，資金的收益變化是：1+0.5*b-0.5*a
第三種：1/4機會，A跌B升，資金的收益變化是：1-0.5*a+0.5*b
第四種：1/4機會，A跌B跌，資金的收益變化是：1-0.5*a-0.5*a
所以，每一輪的資金增長就是：
g = 0.25*ln(1+b)+0.5*ln(1+0.5b-0.5a)+0.25*ln(1-a)
同樣把0<a<1代進去，得出“股票+股票”組合相對於虧損幅度的資金增長變化，如下圖：
想知道“矛”厲害一些，還是“盾”厲害一些，把上面兩幅圖疊起來就一清二楚了：
原來真是各有千秋，a很小，即風險很低時，一注獨贏的“股票+現金”組合（藍色線）佔盡上風；a很大，即風險很高時，也是“股票+現金”組合佔優；中度風險時，則是“股票+股票”組合（紅色線）較優。
實際操作中雖然各項參數不盡相同，但面對不同的風險程度時優化資本配置應是離不開這個大範圍的。而風險對於資本配置的影響，正正是大多數人的決策盲點。
習慣上，投資者普遍會以預期收益來主導決策，很少反過來根據風險作決策，即心存僥幸，不作最壞打算。例如收租仔加按再加按，喊一句gogogo，就以為樓價只會升不會跌；又如財演大師買完股，跳一part求雨舞（魔術師語），就幻想a=0可以不用理會。恐怕最後真是要自求多福了。
上文談及，老同學IT人以全倉一注獨贏曾取得年純利過千萬的佳績，但若攤長到十年來看，IT人的成績並不算非常突出，是什麼原因呢？是選股問題、操作問題，還是方法問題？很值得探討一番。
首先要解決的一個問題是，怎樣的股票，或說滿足什麼條件的股票，才“值得”全倉一注獨贏？又要找回那條最優化資本分配公式：
f = p/a – q/b
其中，f是投入資本的最佳比例，p是盈利的機會率；q是虧損的機會率；a是虧損幅度；b是淨盈利率。
先考慮a>=1，q>0的情況，則f = p/a-q/b < p/a < p < 1；這個結果說明了，只要有機會輸爆廠，那怕機會非常非常小，都是不能全倉一注獨贏的。
於是就可以把範圍收窄了。同時還可以看到，要f足夠大，達致全倉或非常重倉，另一個條件，是要p與q之比或b與a之比很懸殊才行。這樣的表述有點囉嗦和抽象，但能否簡單地理解為只買盈利率高的，或只買機會大、贏面高的，或結合兩者以expected value的大小來決定呢？
把上述算式通分母，得出：
f = (p*b-q*a)/(a*b)
分子的p*b-q*a，實際上就是expected value，假設為E，得出：
f = E/(a*b)
這樣就比較好理解了：第一，只有expected value為正數時，才值得投入注碼；第二，expected value越大越好，但同時不能忽略a*b的數值；第三，若expected value差不多，則a*b越小越好。
舉個例子，假設有三只股票，目前的股價都是1元：
股票A：有一半的機會升至2.6元，一半的機會跌至0.6元。
股票B：有一半的機會升至3.0元，一半的機會跌至0.2元。
股票C：有六成的機會升至3.1元，四成的機會跌至0.1元。
無論以盈利率來選擇、以機會率來選擇，還是以expected value來選擇，無疑都是股票C最凸出。實際上是否如此呢？代入公式算一算就清楚了。
股票C的expected value，E = p*b-q*a = 0.6*2.1-0.4*0.9 = 0.9
最優投資比例，f = 0.9/(2.1*0.9) = 47.62%
相對應f這個比例，其最快增長速度，g = p*ln(1+f*b)+q*ln(1-f*a)
即，g = 0.6*ln(1+0.4762*2.1)+0.4*ln(1-0.4762*0.9) = 19.2%
同樣地針對股票A和股票B算一遍，得出各自的E、f、g，見下表：
意外吧，最值得“重錘”且能令資本增長得最快的股票，並不是股票C，而是盈利率、機會率和expected value都是最低的股票A。股票B的機會率和expected value雖然都和股票A一樣，且盈利率更高，卻是最差勁的一只。
演算的結果說明了，只看某個或某些有利條件，很容易會揀錯股、買錯貨；要找出值得全倉一注獨贏的股票，更不容易；要長期成功，是難上加難。
在實際操作中，和賭波賭馬一樣，注碼的分配還有方法可依，真正令人頭疼的是expected value的估算，難中之難的是，股票每次價格變動後，a、b、p、q這些變數都是會隨之而變動的，根本無從掌握。
日前和老同學IT人食飯聊天，從工作談到家庭、談到“湊仔經”，最後話題落在股票投資。IT人問：“你知道我戰績最好那年贏多少錢嗎？”然後自問自答：“一千萬。一年，net profit。”
IT人是逗份人工的普通打工仔一名，他還自謙只是基層員工，連中層管理人員都不算。池某也見過有朋友靠份人工起家，一步步累積炒至千萬倉，這並不是什麼奇聞，但說一千萬元僅是一年的純利，聽起來就點驚人了，不能不問個究竟。
IT人分享他的觀點，打工仔要累積7位數字的資產，可以靠份人工、靠儲蓄，但想把身家推上8位數字，就不能不靠投資。同樣，要把身家由一球打上十球，不可能靠那丁點股息，或去追逐跑贏指數幾個百分點，一定要瞓身爆發力最強的股票，食盡爆炸性增長的一段，隨即換馬食下一只。
他認為，每一間公司面對的經營問題都不一樣，不能用同一套標準去分析兩只股票，更不能只看一兩個指標就買一堆差不多的股票。若以不同的全套標準去持有多只股票，會令自己非常辛苦，應接不暇；若只看某些指標就買多只類似的股票，總會有一些升唔起的，拖累整個倉的爆發力。
所以他的做法是做足功課，仔細分析，千挑萬選，找出最值得持有的那只股票，全倉買進，持有至找到更值搏的，再全倉換馬。過去十多年，他由幾十萬贏到過百萬，到幾百萬，到過千萬，主要是靠先後持有的三只股票而已。
長期保持一注獨贏，最大的問題是伴隨著高增長的極大variance，令整個倉大幅波動，起伏不定。IT人對此則早有心理準備，他的人工已足夠生活所需和養妻活兒有餘，沒有後顧之憂，一年多幾球少幾球的波動並不影響生活質素，故能處之泰然，未感壓力。
聽完IT人的介紹，大致清楚其操作方法了，簡單地說，就是承受大波幅搏取高增長，若所截取的一年剛好是大幅向上的一年，成績會顯得很勁爆；若是攤長到十年八載來看，雖然也算得上是好成績，但並不算很驚人。
從離開校園踏入社會頭幾年，一般打工仔的身家差距基本上就是人工的差距，淨資產大概就是半球與一球之差，人工特別好的可能有兩球。從現在倒看十年前，與池某同輩的同學和朋友，當年大多數都是處於這個水平之間。儘管大家選擇的路向不一樣，有的只買股不買樓，有的只買樓不買股，有的先買股後買樓，有的先買樓後買股，到十年後的今天，大部份的淨資產都有十球八球左右，也有一些達到十一、二球，人工的差距對資產多寡的影響反而不太明顯。
如果說這就是過去十年環境所造就的“大市”，不難發現那些與“大市”同步的朋友，都有一些鮮明的共同特點：他們都是工作認真、生活投入、對家人負責之人，資源分配都是以滿足自己和家人生活及能力發展所需為優先，不會以投資為主導，更不會理會什麼“被動現金流”、“財務自由”之類的述語，只要把資產規模發展到足夠大，“財務自由”只是隨時都可作出的選擇而已。
反觀少數跑輸“大市”的朋友，也有一些很明顯的特點：他們大多數會很偏執地非常信任某一只基金、某一只股票或某一套選股方法，平時的話題離不開“冧把”，離不開“財務自由”之說，對很多“冧把”如數家珍，卻沒從任何一個“冧把”贏過足以“自由”的大錢；他們經常與指數比較回報率，但一年一年過去，身家只是隨著指數浮浮沉沉。十年過去了，即使對比已經很明顯，他們仍會堅信自己的一套，而把別人的成功視為運氣，把自己的失敗歸咎於某個藉口。
再過十年，又會如何呢？結果是不言而喻的，更何況，現在的起跑線已經大不一樣了。
中學與小學的其中一個分別，小學的課本是上下學期分開買的，中學的課本是一次過買全個學年的。女兒周遊列國未返，買書的事，自然是由池某這個怪獸家長代勞了。天時暑熱，真是苦差一件，雖然真正的體力勞動只是從樓下拿回家這段短短的路程，也搞到身水身汗。
書單上的教科書連作業加上補充讀物，一共有30幾本，還差幾本未買全。把搬回來的戰利品疊起來，高度已超過1呎；放上磅秤一秤，12kg。雖是過來人，想像一下小怪獸要在一年時間內把這堆東西塞進小小的腦子裡，然後再準備啃噬一堆更厚重、更困難的新書，年復一年，還是覺得怪怪的。
古人把學識廣博之人稱為學富五車，聽起來有些誇張。然而，現在一個學生從認圖認字之初開始涉獵的書籍，一年一年下來，教科書加上課外讀物，無論是體積還是重量，加起來還真不是個小數目。本地話用“有幾多斤兩”來形容一個人的能耐，看來還是頗貼切的，從讀書多少來看學識，真是可以“斷斤秤”。
花錢、花時間、花精力去學習那麼多知識，是否值得呢？有大師級人物如查理芒格者，苦心鑽研幾十門跨學科知識；又有人如魔術師者，乜都讀一餐，追求“周身刀張張利”；也有另類“大師”者，認為一兩本“經書”就可以解決所有問題，加減乘除以外的知識，都是多餘的。若“大師”所言正確，那十幾年的基礎教育，只讀“經書”一科就夠了，讀什麼數理化什麼文史地，不是浪費時間嗎？
學一門知識好還是多學幾門好？用一種決策方法好還是用多種決策model好？持有一只股票好還是多幾只股票好？假設股票是可能獲利可能虧損的，model是可能有效可能無效的，知識是可能有用可能無用的，這三條問題就變得很相似了。
要“量度”知識的效益，先要將之量化。古語云，開卷有益。不妨就將“益”視為edge。這樣，學習知識的效益就可以“計算”，問題也變得有趣了。如果有一門知識，有60%的機會學得成，學成後可令自己功力倍增，但有40%機會學不成，一無所獲。那應該花多少精力去學習這門知識呢？很簡單，代入Kelly calculator一算就有結果了，20%。
好了，如果有多一個條件相同的選項，讀多一科好，還是專注讀死一科好？再代入Kelly calculator算一下，得出的最優比例是投入32%的精力，平均分配於兩科。留意左下角的Expected growth，由讀一科的2.034%增加到4.1093%。
這個Expected growth是什麼意思？上述的例子，讀書也好，股票也好，且統一稱之為一個game（賭局）。回顧之前文章所介紹的最優化資本分配公式：
f = p/a – q/b
其中，f是投入資本的最佳比例，p是盈利的機會率；q是虧損的機會率；a是虧損幅度；b是淨盈利率。
相對應f這個比例，其最快增長速度g = p*ln(1+f*b)+q*ln(1-f*a)；
而每賭一次，資金的平均增長就是那個Expected growth = e^g-1；
（打算式太麻煩了，證明的過程就留待搞學術的人去研究吧。）
如果所有選項條件相同，像考DSE一樣讀夠八科，結果會怎樣？Expected growth增至17.4784%。
那些“大師”看到這裡肯定會唔忿氣：既然條件都一樣，使乜咁麻煩，重錘其中一科咪一樣？那就試試吧，假設重錘50%的精力於其中之一科好了，結果是：
g = 0.6*ln(1+0.5)+0.4*ln(1-0.5) = -0.03398
Expected growth = e^(-0.03398)-1 = -3.341%
非但沒有得益，更是負增長，死未？！這也說明了凡事不能過偏，否則會適得其反。明明是補藥，份量多了會變毒藥，正因如此；明明是一只好股票，注碼太重反而會輸錢，亦因如此；明明前人所教的是一套好方法，過於偏信反而會得出反效果，也因如此。
談到這裡，基本上也把Joseph兄那條令人搲爆頭的難題解決了，為什麼John Templeton當年不作分析、不用研究，一次過買上百只垃圾股也能賺大錢？答案就在上述的公式。在股市極低迷的時候，股票普遍都有edge，但也有可能買中垃圾中的垃圾而中伏，故最優的方法就是盡可能分散地買，把Expected growth推到最大。
要注意的是那個大前提，分散投資要在各個選項普遍有edge的情況才見效。譬如二年級的學生去讀一年級或三年級的書，edge就沒那麼明顯了，討論讀多少科好也沒什麼意義了。可見，edge是與timing相關的，若忽略了timing，一味東施效顰地學Templeton持有一大堆垃圾股，後果就不堪設想了。
